Докажите, что уравнение 6x^5 + 10x^3 + 2x - 1 = 40 не имеет корней, которые являются отрицательными числами.

Математика 9 класс Неравенства и анализ функций уравнение 6x^5 + 10x^3 + 2x - 1 доказательство отсутствия корней отрицательные числа математика 9 класс корни уравнения Новый

Чтобы доказать, что уравнение 6x^5 + 10x^3 + 2x - 1 = 40 не имеет отрицательных корней, начнем с преобразования уравнения. Сначала перенесем 40 на левую сторону:

6x^5 + 10x^3 + 2x - 41 = 0.

Теперь мы будем рассматривать функцию:

f(x) = 6x^5 + 10x^3 + 2x - 41.

Наша задача - показать, что f(x) > 0 для всех отрицательных x.

Рассмотрим производную функции f(x):

f'(x) = 30x^4 + 30x^2 + 2.

Обратите внимание, что все слагаемые производной f'(x) положительны для любого x, поскольку:

• 30x^4 ≥ 0 (это выражение всегда неотрицательно, так как x^4 всегда неотрицательно);
• 30x^2 ≥ 0 (аналогично, x^2 всегда неотрицательно);
• 2 > 0 (это постоянное положительное число).

Следовательно, f'(x) > 0 для всех x. Это означает, что функция f(x) является строго возрастающей. Теперь мы можем оценить значение функции f(x) для отрицательных x.

Давайте подставим значение x = -1:

f(-1) = 6(-1)^5 + 10(-1)^3 + 2(-1) - 41 = -6 - 10 - 2 - 41 = -59.

Теперь подставим значение x = -0.5:

f(-0.5) = 6(-0.5)^5 + 10(-0.5)^3 + 2(-0.5) - 41 = 6(-0.03125) + 10(-0.125) - 1 - 41 = -0.1875 - 1.25 - 1 - 41 = -43.4375.

Как видно, значения функции f(x) для x = -1 и x = -0.5 отрицательны. Поскольку f(x) строго возрастает, это означает, что для всех отрицательных x функция f(x) также будет оставаться отрицательной.

Таким образом, мы можем заключить, что уравнение 6x^5 + 10x^3 + 2x - 1 = 40 не имеет отрицательных корней.

Ответ: Уравнение не имеет отрицательных корней, так как функция f(x) строго возрастает и для всех отрицательных x остается отрицательной.