Чтобы доказать равенство методом математической индукции, начнем с формулировки самого равенства:

1/4*5 + 1/5*6 + 1/6*7 + … + 1/(n+3)(n+4) = n/4(n+4)

Мы будем использовать метод математической индукции, который состоит из двух шагов: базового шага и индукционного шага.

Шаг 1: Базовый случай

Для начала проверим равенство при n = 1:

• Левая часть: 1/4*5 = 1/20.
• Правая часть: 1/4(1+4) = 1/4*5 = 1/20.

Таким образом, базовый случай выполнен: левая часть равна правой части.

Шаг 2: Индукционное предположение

Теперь предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа k, то есть:

1/4*5 + 1/5*6 + 1/6*7 + … + 1/(k+3)(k+4) = k/4(k+4).

Шаг 3: Индукционный шаг

Теперь нужно доказать, что это равенство верно и для k + 1:

Рассмотрим левую часть для n = k + 1:

1/4*5 + 1/5*6 + 1/6*7 + … + 1/(k+3)(k+4) + 1/(k+4)(k+5).

По индукционному предположению, мы можем заменить первую часть:

k/4(k+4) + 1/(k+4)(k+5).

Теперь приведем обе части к общему знаменателю:

Общий знаменатель будет 4(k+4)(k+5). Умножим первую часть на (k+5):

(k(k+5))/4(k+4)(k+5) + 1/(k+4)(k+5).

Теперь преобразуем вторую часть:

1/(k+4)(k+5) = 4/(4(k+4)(k+5)).

Теперь у нас есть:

(k(k+5) + 4) / 4(k+4)(k+5).

Упростим числитель:

k^2 + 5k + 4 = (k + 1)(k + 4).

Таким образом, мы получаем:

(k + 1)(k + 4) / 4(k + 4)(k + 5).

Сокращаем (k + 4) в числителе и знаменателе:

(k + 1) / 4(k + 5).

Это соответствует правой части для n = k + 1:

(k + 1) / 4(k + 5).

Таким образом, индукционный шаг выполнен.

Мы доказали, что если равенство верно для n = k, то оно верно и для n = k + 1.

С учетом базового случая и индукционного шага, можем заключить, что равенство верно для всех натуральных чисел n.