Если у нас есть целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами и оно имеет рациональный корень p/q, где p/q - несократимая дробь, то как можно доказать, что p является делителем свободного коэффициента, а q - делителем старшего коэффициента?

Математика 9 класс Рациональные корни уравнений целое рациональное уравнение рациональный корень делители коэффициентов несократимая дробь доказательство делителей Новый

Для доказательства того, что если у нас есть целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами и оно имеет рациональный корень p/q (где p/q - несократимая дробь), то p является делителем свободного коэффициента, а q - делителем старшего коэффициента, мы можем воспользоваться теорией делимости и свойствами многочленов.

Рассмотрим общее целое рациональное уравнение:

a_n * x^n + a_(n-1) * x^(n-1) + ... + a_1 * x + a_0 = 0,

где a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0 - целые коэффициенты, a_n ≠ 0, a_0 - свободный коэффициент.

Предположим, что p/q является корнем этого уравнения. Подставим x = p/q в уравнение:

a_n * (p/q)^n + a_(n-1) * (p/q)^(n-1) + ... + a_1 * (p/q) + a_0 = 0.

Умножим все уравнение на q^n, чтобы избавиться от дробей:

a_n * p^n + a_(n-1) * p^(n-1) * q + ... + a_1 * p * q^(n-1) + a_0 * q^n = 0.

Теперь рассмотрим два основных элемента уравнения:

1. Свободный коэффициент (a_0): В уравнении после умножения на q^n, свободный член будет равен a_0 * q^n. Поскольку все остальные члены имеют p в качестве множителя и p/q является корнем, то для того, чтобы сумма всех членов равнялась нулю, a_n * p^n должен быть равен - (сумма остальных членов). Это означает, что p должен делить a_0, так как все остальные члены содержат p в своих множителях.
2. Старший коэффициент (a_n): Аналогично, старший коэффициент a_n умножается на p^n. Чтобы уравнение было равным нулю, q должен делить все члены, содержащие p, что указывает на то, что q должен делить a_n, так как он присутствует в самом старшем члене уравнения после умножения на q^n.

Таким образом, мы пришли к выводу, что:

• p является делителем свободного коэффициента a_0,
• q является делителем старшего коэффициента a_n.

Это и доказывает требуемое утверждение о делимости коэффициентов уравнения в зависимости от рационального корня p/q.