2025-08-31 16:30:03
II. Интегрируемость
14. Докажите, используя критерий интегрируемости, что функция f(x) = [x] интегрируема по Риману на отрезке [0, 2], если x - иррациональное число.
Математика 9 класс Интегрируемость функций интегрируемость функция f(x) критерий интегрируемости Риманова интеграция отрезок [0 2] иррациональные числа доказательство интегрируемости
2025-08-31 16:30:13
Для доказательства интегрируемости функции f(x) = [x] на отрезке [0, 2] по Риману, мы воспользуемся критерием интегрируемости, который гласит, что функция интегрируема по Риману на отрезке, если множество её разрывов имеет измерение нуль.
Функция f(x) = [x] обозначает целую часть числа x. На отрезке [0, 2] эта функция принимает следующие значения:
- f(x) = 0, если 0 ≤ x < 1;
- f(x) = 1, если 1 ≤ x < 2;
- f(x) = 2, если x = 2.
Теперь определим, где функция f(x) имеет разрывы. Разрывы функции происходят в точках, где x — целое число, то есть в точках 0, 1 и 2. Однако важно заметить, что это всего лишь конечное множество точек.
Таким образом, множество разрывов функции f(x) на отрезке [0, 2] состоит из трех точек: {0, 1, 2}. Это множество имеет измерение нуль, так как оно конечно.
Следовательно, по критерию интегрируемости, функция f(x) = [x] интегрируема по Риману на отрезке [0, 2].
Таким образом, мы доказали, что функция f(x) = [x] интегрируема по Риману на заданном отрезке.