Чтобы найти уравнения касательных к окружности из точки A(1;6), сначала нужно определить центр и радиус окружности, заданной уравнением x² + y² + 2x - 19 = 0.

1. Приведем уравнение окружности к стандартному виду. Для этого сгруппируем и упростим его:

x² + 2x + y² - 19 = 0

Теперь выделим полный квадрат:

• x² + 2x = (x + 1)² - 1

Таким образом, уравнение окружности можно записать как:

(x + 1)² + y² = 20

Теперь видно, что:

• Центр окружности C = (-1; 0)
• Радиус r = √20 = 2√5

2. Теперь найдем расстояние от точки A(1;6) до центра окружности C(-1;0). Это расстояние должно быть больше радиуса, чтобы касательные могли существовать.

Расстояние d рассчитывается по формуле:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Подставим координаты:

d = √((-1 - 1)² + (0 - 6)²) = √((-2)² + (-6)²) = √(4 + 36) = √40 = 2√10

3. Теперь проверим, больше ли это расстояние радиуса:

2√10 > 2√5, так как √10 > √5. Следовательно, касательные существуют.

4. Используем формулу для нахождения уравнений касательных к окружности из точки:

Если окружность имеет центр (x0, y0) и радиус r, а точка P(x1, y1), то уравнение касательных можно записать как:

(x - x0)(x1 - x0) + (y - y0)(y1 - y0) = r²

Подставим значения:

• x0 = -1
• y0 = 0
• x1 = 1
• y1 = 6
• r² = 20

Подставляя в формулу, получаем:

(x + 1)(1 + 1) + (y)(6 - 0) = 20

Это уравнение можно упростить:

2(x + 1) + 6y = 20

Теперь выразим y:

6y = 20 - 2(x + 1)

6y = 20 - 2x - 2

6y = 18 - 2x

y = 3 - (1/3)x

5. Теперь найдем вторую касательную. Она будет иметь ту же форму, но с другим знаком. Таким образом, у нас есть два уравнения:

y = 3 - (1/3)x и y = 3 + (1/3)x

6. В заключение, уравнения касательных к окружности из точки A(1;6) будут:

• y = 3 - (1/3)x
• y = 3 + (1/3)x