Как исследовать график функции и построить его для уравнения y=(x/4)-2x^2? Пожалуйста, ответьте на следующие вопросы:

1. Какова область определения функции?
2. Является ли функция чётной или нечётной?
3. Где происходит пересечение с осями Ox и Oy?
4. Каковы асимптоты графика функции?
5. Какова монотонность функции и какие у неё экстремумы?
6. Где находятся точки перегиба и какие интервалы выпуклости и вогнутости графика функции?
7. Каков знак функции?

Математика 9 класс Исследование графиков функций график функции область определения чётная функция нечётная функция пересечение с осями асимптоты монотонность функции экстремумы точки перегиба выпуклость вогнутость знак функции Новый

Давайте по шагам исследуем график функции y = (x/4) - 2x^2.

1. Область определения функции:

Область определения функции – это все значения x, для которых функция определена. Поскольку в данном уравнении нет дробей или корней, ограничивающих x, область определения функции – это все действительные числа:

• Область определения: x ∈ R.

2. Четность или нечетность функции:

Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, нужно проверить следующие свойства:

• Функция четная, если f(-x) = f(x).
• Функция нечетная, если f(-x) = -f(x).

Подставим -x в функцию:

• f(-x) = (-x/4) - 2(-x)^2 = -x/4 - 2x^2.
• f(-x) ≠ f(x) и f(-x) ≠ -f(x), значит, функция нечетная.

3. Пересечение с осями Ox и Oy:

Чтобы найти пересечения с осями, нужно определить, где y = 0 (пересечение с Ox) и где x = 0 (пересечение с Oy).

• Для Ox: 0 = (x/4) - 2x^2. Решаем уравнение:
1. 2x^2 = x/4
2. 8x^2 = x
3. x(8x - 1) = 0.
4. x = 0 или x = 1/8.
• Для Oy: y = (0/4) - 2(0)^2 = 0.

Пересечения:

• С осью Ox: (0, 0) и (1/8, 0).
• С осью Oy: (0, 0).

4. Асимптоты графика функции:

Данная функция является многочленом, а значит, у нее нет вертикальных или горизонтальных асимптот. Она будет стремиться к бесконечности по мере увеличения или уменьшения x.

5. Монотонность функции и экстремумы:

Для определения монотонности найдем производную функции:

• y' = 1/4 - 4x.

Теперь найдем нули производной:

• 1/4 - 4x = 0
• x = 1/16.

Теперь определим интервалы монотонности:

• При x < 1/16: y' > 0 (функция возрастает).
• При x > 1/16: y' < 0 (функция убывает).

Экстремум находится в точке x = 1/16. Подставим это значение в исходную функцию, чтобы найти y:

• y(1/16) = (1/16)/4 - 2(1/16)^2 = 1/64 - 2/256 = 1/64 - 1/128 = 1/128.

Экстремум: (1/16, 1/128) – это максимум.

6. Точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости:

Для нахождения точек перегиба найдем вторую производную:

• y'' = -4.

Поскольку вторая производная постоянна и отрицательна, это значит, что функция вогнута на всей области определения:

• Точки перегиба отсутствуют.
• Интервалы вогнутости: x ∈ R.

7. Знак функции:

Теперь определим знак функции. Мы нашли пересечения с осью Ox: x = 0 и x = 1/8. Проверим знаки на интервалах:

• Для x < 0: y < 0.
• Для 0 < x < 1/8: y > 0.
• Для x > 1/8: y < 0.

Таким образом, знак функции:

• y < 0 на интервалах (-∞, 0) и (1/8, +∞).
• y > 0 на интервале (0, 1/8).

В результате, мы исследовали график функции y = (x/4) - 2x^2, определили ее свойства и построили полное представление о ее поведении.