Как можно доказать, что начиная с некоторого n, неравенство 0,999n < 0,001 будет выполняться, используя неравенство Бернулли и преобразования выражений?

Математика 9 класс Неравенства и неравенство Бернулли доказательство неравенства неравенство Бернулли математические преобразования решение неравенств пределы последовательностей свойства неравенств Новый

Для того чтобы доказать, что начиная с некоторого n, неравенство 0,999n < 0,001 будет выполняться, можно воспользоваться методом преобразования выражений и неравенством Бернулли.

Сначала преобразим неравенство:

1. Запишем неравенство:
2. 0,999n < 0,001
3. Теперь разделим обе стороны на 0,999 (при этом знак неравенства не изменится, так как 0,999 > 0):
4. n < 0,001 / 0,999

Теперь вычислим значение 0,001 / 0,999:

1. 0,001 / 0,999 ≈ 0,001001001 (это значение можно округлить для удобства, но мы видим, что оно больше 0,001).

Таким образом, мы получили:

1. n < 0,001001001

Теперь нам нужно определить, для каких n это неравенство выполняется. Поскольку n - это целое число, мы можем сказать, что начиная с n = 1, неравенство 0,999n < 0,001 будет выполняться.

Теперь давайте применим неравенство Бернулли, которое гласит, что для любого x > -1 и натурального n, (1 + x)^n > 1 + nx. В нашем случае мы можем рассмотреть x = -0,001, и тогда:

1. 0,999^n = (1 - 0,001)^n.
2. По неравенству Бернулли, мы имеем: 0,999^n < 1 - 0,001n.

Теперь мы можем найти такое n, при котором 1 - 0,001n < 0,001:

1. 1 - 0,001n < 0,001
2. 0,999 < 0,001n
3. n > 0,999 / 0,001 = 999.

Таким образом, начиная с n = 1000, неравенство 0,999n < 0,001 будет выполняться.

В заключение, мы доказали, что начиная с n = 1000, неравенство 0,999n < 0,001 выполняется, используя преобразования выражений и неравенство Бернулли.