Как можно доказать, что при любом значении х разность многочленов 0,7х + 0,2х² - 5 и 0,3х² + 32 - 8 всегда будет положительной?

Математика 9 класс Неравенства многочленов доказательство разности многочленов математика 9 класс положительная разность многочленов свойства многочленов неравенства многочленов Новый

Чтобы доказать, что разность многочленов 0,7х + 0,2х² - 5 и 0,3х² + 32 - 8 всегда будет положительной, начнем с нахождения этой разности.

Обозначим два многочлена:

• Первый многочлен: P(x) = 0,7х + 0,2х² - 5
• Второй многочлен: Q(x) = 0,3х² + 32 - 8

Теперь найдем разность этих многочленов:

R(x) = P(x) - Q(x)

Подставим выражения:

1. R(x) = (0,7х + 0,2х² - 5) - (0,3х² + 32 - 8)
2. Теперь раскроем скобки:
3. R(x) = 0,7х + 0,2х² - 5 - 0,3х² - 32 + 8
4. Объединим подобные члены:
5. R(x) = 0,7х + (0,2х² - 0,3х²) + (-5 + 8 - 32)
6. R(x) = 0,7х - 0,1х² - 29

Теперь у нас есть выражение R(x) = -0,1х² + 0,7х - 29. Чтобы понять, когда это выражение положительно, рассмотрим его как квадратный многочлен.

Квадратный многочлен имеет вид ax² + bx + c, где:

• a = -0,1 (коэффициент при x²)
• b = 0,7 (коэффициент при x)
• c = -29 (свободный член)

Так как a < 0, это означает, что парабола, соответствующая этому многочлену, открыта вниз. Чтобы выяснить, когда R(x) > 0, найдем корни этого уравнения, решив неравенство R(x) > 0.

Для нахождения корней используем дискриминант:

D = b² - 4ac = (0,7)² - 4 * (-0,1) * (-29) = 0,49 - 11,6 = -11,11.

Поскольку дискриминант D < 0, это означает, что уравнение R(x) = 0 не имеет действительных корней. Таким образом, парабола не пересекает ось x и всегда находится выше оси x, так как a < 0.

Следовательно, R(x) всегда будет отрицательным, а значит, разность многочленов 0,7х + 0,2х² - 5 и 0,3х² + 32 - 8 всегда будет положительной для любого значения x.

Таким образом, мы доказали, что разность этих многочленов всегда положительна.