Как можно показать, что для любых чисел х и у верно неравенство: х² - 2х + 4у² - 16у + 17≥ 0?

Математика 9 класс Неравенства и квадратные функции неравенство математика х² 2х 4у² 16у 17 доказательство любые числа аналитическая геометрия Новый

Чтобы показать, что неравенство x² - 2x + 4y² - 16y + 17 ≥ 0 верно для любых чисел x и y, мы можем воспользоваться методом выделения полного квадрата. Это позволит нам упростить выражение и сделать вывод о его знаке.

Рассмотрим первую часть выражения: x² - 2x. Мы можем выделить полный квадрат:

• x² - 2x = (x - 1)² - 1

Теперь рассмотрим вторую часть: 4y² - 16y. Мы можем также выделить полный квадрат, но сначала выделим 4:

• 4y² - 16y = 4(y² - 4y) = 4((y - 2)² - 4) = 4(y - 2)² - 16

Теперь подставим эти преобразования обратно в исходное неравенство:

• x² - 2x + 4y² - 16y + 17 = ((x - 1)² - 1) + (4((y - 2)² - 4)) + 17
• = (x - 1)² - 1 + 4(y - 2)² - 16 + 17
• = (x - 1)² + 4(y - 2)²

Теперь мы видим, что выражение (x - 1)² + 4(y - 2)² состоит из двух квадратов. Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю), то:

• (x - 1)² ≥ 0
• 4(y - 2)² ≥ 0

Следовательно, сумма этих двух неотрицательных чисел также будет неотрицательной:

• (x - 1)² + 4(y - 2)² ≥ 0

Таким образом, мы доказали, что для любых чисел x и y верно неравенство:

x² - 2x + 4y² - 16y + 17 ≥ 0