Решение неравенства 2x² + 5y² + 2xy - 4x + 4y + 8 ≥ 0 можно начать с анализа его как квадратичной функции относительно переменной x. Давайте разберем это по шагам.

Неравенство имеет вид квадратичной функции по переменной x. Мы можем рассмотреть его как функцию:

f(x, y) = 2x² + (2y - 4)x + (5y² + 4y + 8)

Теперь нам нужно выяснить, когда f(x, y) ≥ 0.

Для того чтобы понять, при каких значениях x функция f(x, y) неотрицательна, найдем дискриминант D этой квадратичной функции:

D = (2y - 4)² - 4 * 2 * (5y² + 4y + 8)

Теперь упростим это выражение:

• Вычислим (2y - 4)² = 4y² - 16y + 16
• Вычислим 4 * 2 * (5y² + 4y + 8) = 8(5y² + 4y + 8) = 40y² + 32y + 64

Теперь подставим это в формулу для дискриминанта:

D = 4y² - 16y + 16 - (40y² + 32y + 64)

Упростим:

D = 4y² - 40y² - 16y - 32y + 16 - 64

D = -36y² - 48y - 48

Теперь нам нужно выяснить, при каких значениях y дискриминант D неотрицателен (D ≥ 0). Это определит, есть ли действительные корни у нашей квадратичной функции:

-36y² - 48y - 48 ≥ 0

Мы можем разделить всё неравенство на -12 (не забывая сменить знак неравенства):

3y² + 4y + 4 ≤ 0

Теперь найдем дискриминант для этого выражения:

D' = 4² - 4 * 3 * 4 = 16 - 48 = -32

Так как дискриминант D' < 0, это означает, что у квадратного трехчлена нет действительных корней и он всегда положителен.

Таким образом, неравенство 2x² + 5y² + 2xy - 4x + 4y + 8 ≥ 0 выполняется для всех значений x и y. Это означает, что область решений неравенства - это вся плоскость (x, y).

Если у вас остались вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!