Как можно решить уравнение: y" — 4y' + 4y = 0?

Математика 9 класс Дифференциальные уравнения второго порядка уравнение решение уравнения Дифференциальные уравнения математика 9 класс y" — 4y' + 4y = 0 Новый

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, начнем с его записи:

y'' - 4y' + 4y = 0

Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение.

Мы можем заменить производные на переменную. Обозначим:

r^2 - 4r + 4 = 0

Шаг 2: Решим характеристическое уравнение.

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0.

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть один корень, который можно найти по формуле:

r = -b/(2a) = 4/2 = 2.

Шаг 3: Запишем общее решение уравнения.

Поскольку мы получили один корень (двойной корень), общее решение будет иметь вид:

y(t) = (C1 + C2 * t) * e^(rt),

где C1 и C2 - произвольные постоянные, а r - корень, который мы нашли.

Подставим значение r:

y(t) = (C1 + C2 * t) * e^(2t).

Шаг 4: Запишем окончательное решение.

Таким образом, общее решение нашего дифференциального уравнения:

y(t) = (C1 + C2 * t) * e^(2t).

Здесь C1 и C2 - произвольные постоянные, которые могут быть определены, если известны начальные условия.