Как можно упростить следующие выражения:

1. 2 + sin^2a + cos^2a
2. sina * cos^2a + sin^3a
3. (1 - sina) * (1 + sina)
4. (1 + ctg^2a) * sin^2a + 1
5. (tga * ctga - cos^2a) * 1/sin^2a
6. tga * ctga + sina

Также, как можно доказать следующее тождество:

(2tg^2a * cos^2a + 2cos^2a) * sina + 3sina = 5sina

Математика 9 класс Тригонометрические функции и тождества упрощение выражений тригонометрические функции математические тождества алгебраические выражения 9 класс математика Новый

Давайте упростим каждое из указанных выражений по порядку, а затем докажем предложенное тождество.

1. Упрощение выражения: 2 + sin^2a + cos^2a

• Мы знаем, что sin^2a + cos^2a = 1 (это основное тригонометрическое тождество).
• Подставим это значение в выражение:
• 2 + sin^2a + cos^2a = 2 + 1 = 3.

2. Упрощение выражения: sina * cos^2a + sin^3a

• Здесь можно вынести общий множитель sinа:
• sina * cos^2a + sin^3a = sina * (cos^2a + sin^2a).
• Опять же, используя sin^2a + cos^2a = 1, получаем:
• sina * (cos^2a + sin^2a) = sina * 1 = sina.

3. Упрощение выражения: (1 - sina) * (1 + sina)

• Это выражение можно упростить с помощью формулы разности квадратов:
• (1 - sina)(1 + sina) = 1^2 - (sina)^2 = 1 - sin^2a.
• Также, используя основное тригонометрическое тождество, получаем:
• 1 - sin^2a = cos^2a.

4. Упрощение выражения: (1 + ctg^2a) * sin^2a + 1

• Здесь используем тождество ctg^2a = cos^2a/sin^2a:
• (1 + cos^2a/sin^2a) * sin^2a + 1 = sin^2a + cos^2a + 1.
• Из предыдущего тождества sin^2a + cos^2a = 1, получаем:
• 1 + 1 = 2.

5. Упрощение выражения: (tga * ctga - cos^2a) * 1/sin^2a

• Здесь tga * ctga = 1 (по определению тангенса и котангенса):
• (1 - cos^2a) * 1/sin^2a.
• Мы знаем, что 1 - cos^2a = sin^2a, следовательно:
• sin^2a * 1/sin^2a = 1.

6. Упрощение выражения: tga * ctga + sina

• Как уже упоминалось, tga * ctga = 1:
• 1 + sina.

Теперь докажем тождество: (2tg^2a * cos^2a + 2cos^2a) * sina + 3sina = 5sina

• Сначала упростим левую часть:
• (2tg^2a * cos^2a + 2cos^2a) * sina + 3sina.
• tg^2a = sin^2a/cos^2a, следовательно:
• 2tg^2a * cos^2a = 2(sin^2a/cos^2a) * cos^2a = 2sin^2a.
• Теперь подставим это обратно:
• (2sin^2a + 2cos^2a) * sina + 3sina.
• Используя sin^2a + cos^2a = 1, получаем:
• (2 * 1) * sina + 3sina = 2sina + 3sina = 5sina.

Таким образом, мы доказали, что (2tg^2a * cos^2a + 2cos^2a) * sina + 3sina = 5sina.