Как можно вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: графиками функции y=sin(x), y=cos(x) и отрезком [0; π/2] на оси Ox?

Математика 9 класс Площадь фигур, ограниченных графиками функций площадь фигуры графики функции y=sin(x) y=cos(x) отрезок [0; π/2] ось OX вычисление площади математика 9 класс Новый

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=sin(x), y=cos(x) и отрезком [0; π/2] на оси Ox, нам нужно следовать нескольким шагам. Давайте рассмотрим их по порядку.

1. Найти точки пересечения функций.

   Сначала определим, где графики функций y=sin(x) и y=cos(x) пересекаются в интервале от 0 до π/2. Для этого приравняем их:

   sin(x) = cos(x).

   Это равенство выполняется, когда x = π/4. Проверим:

   sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2.

   Таким образом, точка пересечения находится в x = π/4.

2. Определить, какая функция больше.

   Теперь нужно определить, какая из функций выше на интервале [0; π/2]. Для этого можно подставить любое значение из интервала, например, x = 0:

   sin(0) = 0, cos(0) = 1. Значит, cos(x) > sin(x) на [0; π/4].

   Теперь подставим x = π/4:

   sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2. Здесь функции равны.

   И подставим x = π/2:

   sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0. Значит, sin(x) > cos(x) на [π/4; π/2].

3. Вычислить площадь.

   Площадь фигуры можно найти, вычислив интегралы от разности функций на соответствующих интервалах:

   • На интервале [0; π/4] площадь будет равна:

   P1 = ∫(cos(x) - sin(x)) dx от 0 до π/4.

   • На интервале [π/4; π/2] площадь будет равна:

   P2 = ∫(sin(x) - cos(x)) dx от π/4 до π/2.

4. Посчитать интегралы.

   Теперь вычислим оба интеграла:

   • Для P1:

   P1 = [sin(x) + cos(x)] от 0 до π/4 = (sin(π/4) + cos(π/4)) - (sin(0) + cos(0)) = (√2/2 + √2/2) - (0 + 1) = √2 - 1.

   • Для P2:

   P2 = [-cos(x) - sin(x)] от π/4 до π/2 = (-cos(π/2) - sin(π/2)) - (-cos(π/4) - sin(π/4)) = (0 - 1) - (-√2/2 - √2/2) = -1 + √2 = √2 - 1.

5. Сложить площади.

   Теперь сложим обе площади:

   Общая площадь = P1 + P2 = (√2 - 1) + (√2 - 1) = 2√2 - 2.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=sin(x), y=cos(x) и отрезком [0; π/2] на оси Ox, равна 2√2 - 2.