Чтобы найти частные производные функции z = 3x^4 + xy^2 - 3y^5, мы будем использовать правила дифференцирования, учитывая, что мы берем производные по одной переменной, рассматривая другую переменную как постоянную.

• Частная производная z по x (∂z/∂x):
1. Рассматриваем z = 3x^4 + xy^2 - 3y^5.
2. Дифференцируем каждый член по x, учитывая, что y является константой:
3. ∂(3x^4)/∂x = 12x^3
4. ∂(xy^2)/∂x = y^2 (y^2 считается константой)
5. ∂(-3y^5)/∂x = 0 (так как этот член не зависит от x).
6. Складываем результаты: ∂z/∂x = 12x^3 + y^2.
• Частная производная z по y (∂z/∂y):
1. Снова рассматриваем z = 3x^4 + xy^2 - 3y^5.
2. Дифференцируем каждый член по y, учитывая, что x является константой:
3. ∂(3x^4)/∂y = 0 (так как этот член не зависит от y).
4. ∂(xy^2)/∂y = 2xy (где x считается константой).
5. ∂(-3y^5)/∂y = -15y^4.
6. Складываем результаты: ∂z/∂y = 2xy - 15y^4.

• Частная производная второго порядка по x (∂²z/∂x²):
1. Начинаем с первой производной ∂z/∂x = 12x^3 + y^2.
2. Дифференцируем по x:
3. ∂(12x^3)/∂x = 36x^2
4. ∂(y^2)/∂x = 0.
5. Таким образом, ∂²z/∂x² = 36x^2.
• Частная производная второго порядка по y (∂²z/∂y²):
1. Начинаем с первой производной ∂z/∂y = 2xy - 15y^4.
2. Дифференцируем по y:
3. ∂(2xy)/∂y = 2x.
4. ∂(-15y^4)/∂y = -60y^3.
5. Таким образом, ∂²z/∂y² = 2x - 60y^3.
• Смешанная частная производная (∂²z/∂x∂y):
1. Начинаем с первой производной ∂z/∂x = 12x^3 + y^2.
2. Дифференцируем по y:
3. ∂(12x^3)/∂y = 0.
4. ∂(y^2)/∂y = 2y.
5. Таким образом, ∂²z/∂x∂y = 2y.
• Смешанная частная производная (∂²z/∂y∂x):
1. Начинаем с первой производной ∂z/∂y = 2xy - 15y^4.
2. Дифференцируем по x:
3. ∂(2xy)/∂x = 2y.
4. ∂(-15y^4)/∂x = 0.
5. Таким образом, ∂²z/∂y∂x = 2y.

Таким образом, мы нашли частные производные первого и второго порядков для функции z = 3x^4 + xy^2 - 3y^5:

• ∂z/∂x = 12x^3 + y^2
• ∂z/∂y = 2xy - 15y^4
• ∂²z/∂x² = 36x^2
• ∂²z/∂y² = 2x - 60y^3
• ∂²z/∂x∂y = 2y
• ∂²z/∂y∂x = 2y