Как найти интеграл от 0 до 1 для функции x^2, делённой на 3 корня из 8 минус 7x^3?

Математика 9 класс Интегралы и интегральное исчисление интеграл математика функция x^2 0 до 1 3 корня из 8 7x^3 нахождение интеграла Новый

Чтобы найти интеграл функции f(x) = x^2 / (3√8 - 7x^3) на интервале от 0 до 1, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Определить интеграл: Мы ищем определенный интеграл:

   ∫ (x^2 / (3√8 - 7x^3)) dx от 0 до 1.

2. Проверить возможность интегрирования: Перед тем как интегрировать, убедимся, что функция не имеет разрывов на заданном интервале. Для этого нужно проверить, когда знаменатель (3√8 - 7x^3) равен нулю:
   • Решим уравнение: 3√8 - 7x^3 = 0.
   • Получаем: 7x^3 = 3√8.
   • Следовательно, x^3 = (3√8) / 7.
   • Так как 3√8 примерно равно 6.928, то x^3 будет примерно равно 0.990.
   • Это значение x находится вне нашего интервала [0, 1], поэтому функция не имеет разрывов на этом интервале.
3. Использовать метод подстановки: Для интегрирования функции удобно использовать метод подстановки. Обозначим:

   u = 3√8 - 7x^3.

   Тогда, производная u по x будет:

   du/dx = -21x^2.

   Отсюда, dx = -du / (21x^2).

4. Подставить переменные: Теперь подставим u в наш интеграл:

   ∫ (x^2 / u) * (-du / (21x^2)) = -1/21 ∫ (1 / u) du.

   Это упрощается до:

   -1/21 ln|u| + C.

5. Вернуть переменные: Теперь вернемся к переменной x:

   -1/21 ln|3√8 - 7x^3| + C.

6. Подставить пределы интегрирования: Теперь подставим пределы от 0 до 1:

   -1/21 [ln|3√8 - 7(1)^3| - ln|3√8 - 7(0)^3|].

   Это будет:

   -1/21 [ln|3√8 - 7| - ln|3√8|].

7. Решить выражение: Упрощаем полученное выражение:

   -1/21 ln((3√8 - 7) / (3√8)).

Таким образом, мы нашли интеграл функции на заданном интервале. Если необходимо, можно подставить численные значения для получения окончательного результата.