Чтобы найти косинус меньшего угла треугольника MNK, мы сначала определим векторы, образующие углы, а затем воспользуемся формулой косинуса угла между двумя векторами.

Шаги решения:

1. Найдем векторы:
   • Вектор MN: M(4; -3) и N(-2; 4)
   • Вектор NK: N(-2; 4) и K(8; -2)
   • Вектор KM: K(8; -2) и M(4; -3)
2. Запишем координаты векторов:
   • MN = N - M = (-2 - 4; 4 - (-3)) = (-6; 7)
   • NK = K - N = (8 - (-2); -2 - 4) = (10; -6)
   • KM = M - K = (4 - 8; -3 - (-2)) = (-4; -1)
3. Найдём длины векторов:
   • |MN| = √((-6)² + 7²) = √(36 + 49) = √85
   • |NK| = √(10² + (-6)²) = √(100 + 36) = √136
   • |KM| = √((-4)² + (-1)²) = √(16 + 1) = √17
4. Найдем скалярные произведения векторов:
   • MN * NK = (-6) * 10 + 7 * (-6) = -60 - 42 = -102
   • NK * KM = 10 * (-4) + (-6) * (-1) = -40 + 6 = -34
   • KM * MN = (-4) * (-6) + (-1) * 7 = 24 - 7 = 17
5. Используем формулу косинуса угла:
   • cos(α) = (MN * NK) / (|MN| * |NK|)
   • cos(β) = (NK * KM) / (|NK| * |KM|)
   • cos(γ) = (KM * MN) / (|KM| * |MN|)
6. Подставим значения:
   • cos(α) = -102 / (√85 * √136)
   • cos(β) = -34 / (√136 * √17)
   • cos(γ) = 17 / (√17 * √85)
7. Вычислим косинусы:
   • cos(α) = -102 / (√11560)
   • cos(β) = -34 / (√2312)
   • cos(γ) = 17 / (√1445)
8. Сравним косинусы:
   • Наименьший косинус соответствует наибольшему углу, а наибольший косинус - наименьшему углу.

Таким образом, косинус меньшего угла треугольника MNK можно найти, вычислив косинусы всех углов и выбрав наибольший из них.