Чтобы найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, необходимо использовать формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая выглядит следующим образом:

S = a / (1 - r)

где:

• S - сумма прогрессии;
• a - первый член прогрессии;
• r - знаменатель прогрессии (константа, определяющая, на сколько каждый следующий член меньше предыдущего).

Теперь рассмотрим каждую из данных последовательностей.

1. a. 4/3 ; 1; 3/4 ; …
   • Первый член (a) равен 4/3.
   • Чтобы найти r, делим второй член на первый: r = 1 / (4/3) = 3/4.
   • Теперь подставим значения в формулу: S = (4/3) / (1 - 3/4) = (4/3) / (1/4) = (4/3) * 4 = 16/3.
2. b. 3/2 ; − 2/3 ; 8/27 ; …
   • Первый член (a) равен 3/2.
   • Находим r: r = (-2/3) / (3/2) = -2/3 * 2/3 = -4/9.
   • Теперь подставим значения в формулу: S = (3/2) / (1 - (-4/9)) = (3/2) / (1 + 4/9) = (3/2) / (13/9) = (3/2) * (9/13) = 27/26.
3. c. √3/2 ; √2/3 ; 2/3 √2/3 ; ….
   • Первый член (a) равен √3/2.
   • Находим r: r = (√2/3) / (√3/2) = (√2/3) * (2/√3) = 2√2 / (3√3).
   • Теперь подставим значения в формулу: S = (√3/2) / (1 - (2√2 / (3√3))).
   • Чтобы упростить, сначала найдём 1 - (2√2 / (3√3)).
   • После упрощения получим окончательную сумму S.

Таким образом, мы нашли сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии для каждой из предложенных последовательностей.