Как найти точку максимума функции y=ln(4x+4)^2+2x+7? Пожалуйста, объясните, что делать с натуральным логарифмом, так как я не понимаю.

Математика 9 класс Производные и экстремумы функций точка максимума функция натуральный логарифм y=ln(4x+4)^2 математика 9 класс Новый

Чтобы найти точку максимума функции y = ln((4x + 4)^2) + 2x + 7, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Упростим функцию

Первое, что мы можем сделать, это упростить натуральный логарифм. Мы знаем, что ln(a^b) = b * ln(a). В нашем случае:

• ln((4x + 4)^2) = 2 * ln(4x + 4).

Таким образом, мы можем переписать нашу функцию:

y = 2 * ln(4x + 4) + 2x + 7.

Шаг 2: Найдем производную

Теперь нам нужно найти первую производную функции y по x. Это поможет нам определить, где функция достигает максимума или минимума. Производная будет равна:

• y' = d/dx(2 * ln(4x + 4)) + d/dx(2x) + d/dx(7).

Используем правило дифференцирования для логарифмической функции:

• d/dx(ln(u)) = (1/u) * (du/dx), где u = 4x + 4, и du/dx = 4.

Таким образом, производная будет:

y' = 2 * (1/(4x + 4)) * 4 + 2 = (8/(4x + 4)) + 2.

Упростим это выражение:

y' = (8/(4(x + 1))) + 2 = 2/(x + 1) + 2.

Шаг 3: Найдем критические точки

Теперь, чтобы найти точки максимума или минимума, мы приравняем производную к нулю:

2/(x + 1) + 2 = 0.

Решим это уравнение:

• 2/(x + 1) = -2.
• 2 = -2(x + 1).
• 2 = -2x - 2.
• 2x = -4.
• x = -2.

Шаг 4: Определим, является ли точка максимумом или минимумом

Теперь нам нужно определить, является ли x = -2 точкой максимума или минимума. Для этого мы можем использовать вторую производную:

• y'' = d/dx(y').

Вычислим вторую производную и подставим x = -2. Если y'' < 0, то это максимум; если y'' > 0, то это минимум.

Шаг 5: Найдем значение функции в точке максимума

Подставим x = -2 в исходную функцию y, чтобы найти значение функции в этой точке:

y(-2) = ln((4*(-2) + 4)^2) + 2*(-2) + 7.

Теперь подставим и упростим:

• y(-2) = ln(0^2) + (-4) + 7 = ln(0) + 3.

Поскольку ln(0) не определен, это указывает на то, что мы не можем найти максимум в этой точке.

Таким образом, необходимо проверить, есть ли другие критические точки или границы области определения функции, чтобы найти максимум функции.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти точку максимума для данной функции!