Для того чтобы найти все натуральные числа N, для которых произведение N и сумма его цифр S(N) равно 1999, нам нужно решить уравнение:

N * S(N) = 1999

Шаги решения:

1. Определим, что такое S(N). Сумма цифр числа N обозначается как S(N). Например, если N = 123, то S(N) = 1 + 2 + 3 = 6.
2. Найдем делители числа 1999. Поскольку N * S(N) = 1999, то N должно быть делителем числа 1999. Для начала найдем все делители 1999.
3. Разложим 1999 на простые множители. Мы видим, что 1999 = 1999 * 1, и 1999 является простым числом. Таким образом, его делители: 1 и 1999.
4. Проверим каждый делитель:
   • Для N = 1:
     • S(1) = 1.
     • Проверяем: 1 * 1 = 1, что не равно 1999.
   • Для N = 1999:
     • S(1999) = 1 + 9 + 9 + 9 = 28.
     • Проверяем: 1999 * 28 = 55972, что также не равно 1999.
5. Вывод: Мы проверили все делители числа 1999 и не нашли натуральные числа N, удовлетворяющие условию N * S(N) = 1999.

Таким образом, нет натуральных чисел N, для которых произведение N и сумма его цифр S(N) равно 1999.