Как определить координаты точки максимума функции: -x^3/3 + 36x - 8?

Математика 9 класс Максимум и минимум функции координаты точки максимума определение максимума функции анализ функции производная функции нахождение экстремума Новый

Чтобы определить координаты точки максимума функции f(x) = -x^3/3 + 36x - 8, необходимо выполнить несколько шагов. Мы будем использовать производные для нахождения критических точек и определения, является ли эта точка максимумом.

1. Найдем первую производную функции. Первая производная показывает, как изменяется функция, и поможет найти критические точки.

   Для функции f(x) = -x^3/3 + 36x - 8, производная f'(x) будет:

   • f'(x) = -x^2 + 36.
2. Приравняем первую производную к нулю. Это поможет нам найти критические точки:

   0 = -x^2 + 36.

   Теперь решим это уравнение:

   • x^2 = 36.
   • x = ±6.

   Таким образом, мы нашли две критические точки: x = 6 и x = -6.

3. Определим, является ли каждая из критических точек максимумом или минимумом. Для этого найдем вторую производную:

   f''(x) = -2x.

   Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную:

   • f''(6) = -2 * 6 = -12 (меньше нуля, значит, x = 6 - точка максимума).
   • f''(-6) = -2 * (-6) = 12 (больше нуля, значит, x = -6 - точка минимума).
4. Теперь найдем значение функции в точке максимума. Подставим x = 6 в исходную функцию:

   f(6) = -6^3/3 + 36 * 6 - 8.

   • f(6) = -72 + 216 - 8 = 136.

Таким образом, координаты точки максимума функции f(x) = -x^3/3 + 36x - 8 равны (6, 136).