Как решить интеграл x^4/(x^5+7) методом подстановки?

Математика 9 класс Интегралы и методы их вычисления интеграл решение интеграла метод подстановки математика 9 класс интегралы 9 класс Новый

Чтобы решить интеграл ∫ (x^4 / (x^5 + 7)) dx методом подстановки, следуем следующим шагам:

1. Выбор подстановки: Обратим внимание на выражение в знаменателе (x^5 + 7). Мы можем использовать подстановку u = x^5 + 7. Тогда, чтобы выразить dx через du, нам нужно найти производную u по x.
2. Нахождение производной: Находим производную u:
   • du/dx = 5x^4
3. Выражение dx через du: Теперь выразим dx:
   • dx = du / (5x^4)
4. Замена переменных в интеграле: Теперь подставим u и dx в интеграл:
   • Когда мы подставляем u, то x^4 остается, а x^5 + 7 заменяется на u. Таким образом, интеграл становится: ∫ (x^4 / u) * (du / (5x^4))
   • Сокращаем x^4: ∫ (1 / (5u)) du
5. Интегрирование: Теперь мы можем интегрировать:
   • ∫ (1 / (5u)) du = (1/5) * ln|u| + C, где C - произвольная константа интегрирования.
6. Возвращение к исходной переменной: Теперь подставим обратно u = x^5 + 7 в наш результат:
   • Получаем: (1/5) * ln|x^5 + 7| + C.

Таким образом, окончательный ответ для интеграла ∫ (x^4 / (x^5 + 7)) dx будет:

(1/5) * ln|x^5 + 7| + C