Как решить иррациональные уравнения?

Решите уравнения:

1. √x2-13=6
2. √x+2=√2x-3
3. √x2+8x=√4x+5

Математика 9 класс Иррациональные уравнения иррациональные уравнения решение уравнений математика математические задачи квадратный корень Новый

Решение иррациональных уравнений может показаться сложным, но на самом деле, если следовать определённым шагам, это становится довольно увлекательным! Давайте разберём каждое из предложенных уравнений по порядку!

1. Уравнение: √(x² - 13) = 6

• Сначала возведём обе стороны уравнения в квадрат: (√(x² - 13))² = 6².
• Получаем: x² - 13 = 36.
• Теперь решим это уравнение: x² = 36 + 13.
• x² = 49, следовательно, x = ±7.
• Проверим корни: √(7² - 13) = √36 = 6 и √((-7)² - 13) = √36 = 6. Оба корня подходят!

Ответ: x = 7 или x = -7

2. Уравнение: √(x + 2) = √(2x - 3)

• Возводим обе стороны в квадрат: (√(x + 2))² = (√(2x - 3))².
• Получаем: x + 2 = 2x - 3.
• Переносим все x в одну сторону: 2 + 3 = 2x - x.
• Итак, 5 = x.
• Проверяем: √(5 + 2) = √(2*5 - 3) → √7 = √7. Подходит!

Ответ: x = 5

3. Уравнение: √(x² + 8x) = √(4x + 5)

• Возводим обе стороны в квадрат: (√(x² + 8x))² = (√(4x + 5))².
• Получаем: x² + 8x = 4x + 5.
• Переносим все в одну сторону: x² + 8x - 4x - 5 = 0.
• Упрощаем: x² + 4x - 5 = 0.
• Решаем это квадратное уравнение по формуле: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.
• Здесь a = 1, b = 4, c = -5. Подставляем: x = (-4 ± √(16 + 20)) / 2.
• Получаем: x = (-4 ± √36) / 2 = (-4 ± 6) / 2.
• Таким образом, x1 = 1 и x2 = -5.
• Проверяем: √(1² + 8*1) = √(4*1 + 5) → √9 = √9. Подходит!
• Для x = -5: √((-5)² + 8*(-5)) = √(4*(-5) + 5) → √0 = √0. Подходит!

Ответ: x = 1 или x = -5

Вот и всё! Мы успешно решили все три иррациональных уравнения! Помните, что важно проверять корни, так как иногда могут возникать extraneous solutions. Удачи в учёбе!