Как решить неравенство f '(x) > 1, если f (x) = ln (2x – 5)?

Математика 9 класс Неравенства с производными неравенство решение неравенства производная логарифмическая функция f'(x) > 1 f(x) = ln(2x-5) математика 9 класс Новый

Чтобы решить неравенство f '(x) > 1 для функции f(x) = ln(2x - 5), сначала найдем производную функции f(x).

Шаг 1: Найдем производную f(x)

Используем правило дифференцирования логарифмической функции. Производная функции f(x) = ln(u) равна f '(x) = (1/u) * u', где u = 2x - 5.

Таким образом, производная будет:

• u = 2x - 5
• u' = 2

Следовательно, f '(x) = (1/(2x - 5)) * 2 = 2/(2x - 5).

Шаг 2: Запишем неравенство

Теперь мы можем записать неравенство:

2/(2x - 5) > 1.

Шаг 3: Упростим неравенство

Умножим обе стороны неравенства на (2x - 5), но при этом учтем, что знак неравенства изменится, если (2x - 5) < 0. Поэтому сначала найдем, когда 2x - 5 = 0:

• 2x - 5 = 0
• 2x = 5
• x = 2.5.

Теперь рассмотрим два случая: x < 2.5 и x > 2.5.

Случай 1: x > 2.5

При этом случае мы можем умножить на (2x - 5), не меняя знак:

2 > (2x - 5).

Упростим это неравенство:

• 2 > 2x - 5
• 2 + 5 > 2x
• 7 > 2x
• 7/2 > x
• x < 3.5.

Таким образом, для x > 2.5, у нас есть ограничение x < 3.5.

Случай 2: x < 2.5

Здесь мы умножаем на (2x - 5) и меняем знак неравенства:

2 < (2x - 5).

Упростим это неравенство:

• 2 < 2x - 5
• 2 + 5 < 2x
• 7 < 2x
• 7/2 < x
• x > 3.5.

Однако, этот случай невозможен, так как x < 2.5.

Шаг 4: Подведем итог

Таким образом, решение неравенства f '(x) > 1 будет в пределах:

x > 2.5 и x < 3.5, что можно записать как:

2.5 < x < 3.5.

Ответ: x принадлежит интервалу (2.5, 3.5).