Как решить неравенство: lg² x - 4 lg x + 3 > 0?

Математика 9 класс Неравенства с логарифмами неравенство решение неравенства логарифмы lg x математика 9 класс Новый

Для решения неравенства lg² x - 4 lg x + 3 > 0, начнем с того, что введем замену переменной. Обозначим:

• y = lg x

Теперь наше неравенство можно переписать в виде:

y² - 4y + 3 > 0

Следующим шагом будет решение квадратного неравенства. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

y² - 4y + 3 = 0

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

• Дискриминант D = b² - 4ac

В нашем случае:

• a = 1
• b = -4
• c = 3

Подставляем значения:

D = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4

Теперь находим корни:

• y1 = (4 + √D) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3
• y2 = (4 - √D) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1

Корни уравнения y² - 4y + 3 = 0 — это y1 = 3 и y2 = 1. Теперь мы можем разложить квадратный трёхчлен:

(y - 1)(y - 3) > 0

Теперь найдем промежутки, где это неравенство выполняется. Для этого определим знаки произведения (y - 1)(y - 3) на числовой прямой:

• y < 1: произведение будет положительным
• 1 < y < 3: произведение будет отрицательным
• y > 3: произведение будет положительным

Таким образом, неравенство (y - 1)(y - 3) > 0 выполняется для:

• y < 1
• y > 3

Теперь возвращаемся к переменной x, помня, что y = lg x. Это дает нам два неравенства:

• lg x < 1
• lg x > 3

Решим каждое из них:

• lg x < 1: x < 10
• lg x > 3: x > 1000

Теперь мы можем записать окончательный ответ:

Решение неравенства:

• x < 10 или x > 1000

Таким образом, ответ на неравенство lg² x - 4 lg x + 3 > 0: x < 10 или x > 1000.