Решение неравенства x(x-1)(x^2) >= 0 методом интервалов можно разбить на несколько шагов. Давайте подробно разберем каждый из них.

Для начала, нам нужно найти точки, в которых выражение равно нулю. Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

• x = 0
• x - 1 = 0 => x = 1
• x^2 = 0 => x = 0

Таким образом, нули функции: x = 0 и x = 1. Обратите внимание, что x = 0 является двойным корнем, так как он появляется дважды в нашем выражении.

Теперь, когда мы нашли нули, мы можем разбить числовую прямую на интервалы:

• (-∞; 0)
• [0; 1]
• (1; +∞)

Для каждого из интервалов выберем тестовую точку, чтобы определить знак выражения:

• Для интервала (-∞; 0): выберем тестовую точку, например, x = -1.
• Для интервала [0; 1]: выберем тестовую точку, например, x = 0.5.
• Для интервала (1; +∞): выберем тестовую точку, например, x = 2.

Теперь подставим тестовые точки в выражение x(x-1)(x^2):

• Для x = -1:
  • x = -1 => (-1)(-1-1)(-1^2) = (-1)(-2)(1) = 2 > 0
• Для x = 0.5:
  • x = 0.5 => (0.5)(0.5-1)(0.5^2) = (0.5)(-0.5)(0.25) = -0.0625 < 0
• Для x = 2:
  • x = 2 => (2)(2-1)(2^2) = (2)(1)(4) = 8 > 0

Теперь у нас есть информация о знаках в каждом интервале:

• Интервал (-∞; 0): положительный знак ( > 0 )
• Интервал [0; 1]: отрицательный знак ( < 0 )
• Интервал (1; +∞): положительный знак ( > 0 )

Теперь мы можем записать решение неравенства x(x-1)(x^2) >= 0:

• Выражение больше или равно нулю на интервалах: (-∞; 0] и [1; +∞).

Решение неравенства x(x-1)(x^2) >= 0: x ∈ (-∞; 0] ∪ [1; +∞).