Для решения уравнения 6ctg²(x) - 2cos²(x) = 3, начнем с того, что преобразуем его в более удобный вид.

Шаг 1: Замена переменных

Мы знаем, что cotangent (ctg) можно выразить через cosine и sine:

• ctg(x) = cos(x) / sin(x)

Следовательно, ctg²(x) = cos²(x) / sin²(x). Подставим это в уравнение:

6 * (cos²(x) / sin²(x)) - 2cos²(x) = 3

Шаг 2: Умножение на sin²(x)

Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на sin²(x) (при условии, что sin(x) ≠ 0):

6cos²(x) - 2cos²(x) * sin²(x) = 3sin²(x)

Шаг 3: Приведение подобного

Теперь упростим уравнение:

6cos²(x) - 2cos²(x)sin²(x) - 3sin²(x) = 0

Шаг 4: Замена sin²(x)

Мы можем использовать тождество sin²(x) + cos²(x) = 1, откуда sin²(x) = 1 - cos²(x). Подставим это в уравнение:

6cos²(x) - 2cos²(x)(1 - cos²(x)) - 3(1 - cos²(x)) = 0

Шаг 5: Раскрытие скобок

Раскроем скобки:

6cos²(x) - 2cos²(x) + 2cos^4(x) - 3 + 3cos²(x) = 0

Соберем все подобные члены:

2cos^4(x) + 7cos²(x) - 3 = 0

Шаг 6: Замена переменной

Обозначим y = cos²(x). Тогда уравнение примет вид:

2y² + 7y - 3 = 0

Шаг 7: Решение квадратного уравнения

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = 7² - 4 * 2 * (-3) = 49 + 24 = 73

Теперь находим корни:

y1,2 = (-b ± √D) / (2a) = (-7 ± √73) / 4

Шаг 8: Подстановка обратно

Теперь мы найдем значения y:

• y1 = (-7 + √73) / 4
• y2 = (-7 - √73) / 4

Поскольку y = cos²(x), мы должны убедиться, что значения y неотрицательные. Мы рассматриваем только y1, так как y2 будет отрицательным.

Шаг 9: Находим cos(x)

Теперь находим cos(x):

cos(x) = ±√y1 = ±√((-7 + √73) / 4)

Шаг 10: Нахождение x

Наконец, используя значение cos(x), находим x. Поскольку cos(x) может принимать положительные и отрицательные значения, мы получим два набора решений:

• x = arccos(√((-7 + √73) / 4)) + 2πk
• x = -arccos(√((-7 + √73) / 4)) + 2πk

где k - целое число.

Это и есть решение нашего уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!