Чтобы решить уравнение arctg(x²-9) = arctg(8x), воспользуемся свойствами арктангенса. Напомним, что если arctg(a) = arctg(b), то a = b или a + b = kπ, где k - целое число. Однако в нашем случае будем рассматривать только первый случай, так как аргументы арктангенса должны быть определены.

Следовательно, мы можем записать:

• x² - 9 = 8x

Теперь решим это уравнение. Переносим все слагаемые в одну сторону:

• x² - 8x - 9 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Вспомним формулу для дискриминанта:

• D = b² - 4ac

В нашем уравнении a = 1, b = -8, c = -9. Подставим эти значения в формулу:

• D = (-8)² - 4 * 1 * (-9)
• D = 64 + 36
• D = 100

Теперь, когда мы нашли дискриминант, можем найти корни уравнения по формуле:

• x1,2 = (-b ± √D) / (2a)

Подставим наши значения:

• x1 = (8 + √100) / 2 = (8 + 10) / 2 = 18 / 2 = 9
• x2 = (8 - √100) / 2 = (8 - 10) / 2 = -2 / 2 = -1

Таким образом, мы нашли два корня: x1 = 9 и x2 = -1.

Теперь давайте проверим, подходят ли эти корни к исходному уравнению:

• Для x = 9: arctg(9² - 9) = arctg(8 * 9) → arctg(72) = arctg(72), верно.
• Для x = -1: arctg((-1)² - 9) = arctg(8 * (-1)) → arctg(-8) = arctg(-8), верно.

Оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Таким образом, окончательный ответ: