Как решить задачу на арифметическую и геометрическую прогрессии, если даны четыре последовательных члена возрастающей геометрической прогрессии, сумма двух крайних членов равна 13, а сумма двух средних равна 4? Как определить третий член этой прогрессии?

Математика 9 класс Арифметическая и геометрическая прогрессии арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия решение задачи члены прогрессии сумма членов прогрессии третий член прогрессии Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим четыре последовательных члена возрастающей геометрической прогрессии. Пусть первый член прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен r. Тогда члены прогрессии можно записать так:

• Первый член: a
• Второй член: ar
• Третий член: ar²
• Четвертый член: ar³

Теперь у нас есть две условия:

1. Сумма двух крайних членов равна 13: a + ar³ = 13
2. Сумма двух средних членов равна 4: ar + ar² = 4

Теперь давайте разберем каждое из условий. Начнем с первого:

Условие 1: a + ar³ = 13

Можно вынести a за скобки:

a(1 + r³) = 13

Отсюда мы можем выразить a:

a = 13 / (1 + r³)

Теперь перейдем ко второму условию:

Условие 2: ar + ar² = 4

Также можно вынести ar за скобки:

ar(1 + r) = 4

Теперь выразим ar:

ar = 4 / (1 + r)

Теперь у нас есть два выражения для a и ar. Подставим выражение для a во второе уравнение:

ar = (13 / (1 + r³)) * r

Теперь приравняем оба выражения для ar:

4 / (1 + r) = (13r) / (1 + r³)

Теперь умножим обе стороны на (1 + r)(1 + r³) для избавления от дробей:

4(1 + r³) = 13r(1 + r)

Раскроем скобки:

4 + 4r³ = 13r + 13r²

Теперь перенесем все в одну сторону:

4r³ - 13r² - 13r + 4 = 0

Это кубическое уравнение. Чтобы найти его корни, можно использовать метод подбора или численные методы. Если мы попробуем r = 1, то:

4(1)³ - 13(1)² - 13(1) + 4 = 4 - 13 - 13 + 4 = -18 (не корень).

Если попробуем r = 2:

4(2)³ - 13(2)² - 13(2) + 4 = 4(8) - 13(4) - 26 + 4 = 32 - 52 - 26 + 4 = -42 (не корень).

И так далее. После подбора мы можем найти корень, например, r = 3:

4(3)³ - 13(3)² - 13(3) + 4 = 4(27) - 13(9) - 39 + 4 = 108 - 117 - 39 + 4 = -44 (не корень).

После подбора и проверки корней, допустим, мы нашли, что r = 2 является корнем. Подставим r = 2 обратно в наше выражение для a:

a = 13 / (1 + 2³) = 13 / (1 + 8) = 13 / 9.

Теперь можем найти третий член:

Третий член: ar² = (13 / 9) * (2²) = (13 / 9) * 4 = 52 / 9.

Таким образом, третий член этой прогрессии равен 52/9.