Как составить уравнение касательной к графику функции у=2√(х)+х, которая будет параллельна прямой у=2x?

Математика 9 класс Уравнения касательных и производные функций Уравнение касательной график функции параллельная прямая математические задачи 9 класс математика Новый

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = 2√(x) + x, которая будет параллельна прямой y = 2x, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Определим наклон прямой y = 2x.

   Наклон (или угловой коэффициент) данной прямой равен 2.

2. Найдем производную функции y = 2√(x) + x.

   Производная функции показывает наклон касательной в любой точке графика. Найдем производную:

   • Производная от 2√(x) равна 2/(2√(x)) = 1/√(x).
   • Производная от x равна 1.

   Таким образом, производная функции будет:

   y' = 1/√(x) + 1.

3. Приравняем производную к наклону прямой.

   Чтобы касательная была параллельна прямой y = 2x, производная должна равняться 2:

   1/√(x) + 1 = 2.

4. Решим уравнение для нахождения x.
   • Переносим 1 в правую часть: 1/√(x) = 2 - 1.
   • Получаем: 1/√(x) = 1.
   • Теперь возьмем обратное значение: √(x) = 1.
   • Возводим в квадрат: x = 1.
5. Найдем значение функции в найденной точке.

   Теперь подставим x = 1 в исходную функцию, чтобы найти y:

   y = 2√(1) + 1 = 2 + 1 = 3.

   Таким образом, точка касания имеет координаты (1, 3).

6. Составим уравнение касательной.

   Теперь, зная точку (1, 3) и наклон 2, можем использовать уравнение прямой в точке:

   y - y1 = m(x - x1), где (x1, y1) = (1, 3) и m = 2.

   • Подставляем значения: y - 3 = 2(x - 1).
   • Раскрываем скобки: y - 3 = 2x - 2.
   • Переносим 3 в правую часть: y = 2x + 1.

Ответ: Уравнение касательной к графику функции y = 2√(x) + x, которая параллельна прямой y = 2x, имеет вид y = 2x + 1.