Как упростить и найти корни неравенства x^3 + 11x^2 + 31x + 36 >= 0?

Математика 9 класс Неравенства 3-го порядка упростить неравенство корни неравенства x^3 + 11x^2 + 31x + 36 решение неравенства математический анализ методы решения неравенств Новый

Чтобы упростить и найти корни неравенства x^3 + 11x^2 + 31x + 36 >= 0, давайте следовать шагам, которые помогут нам решить эту задачу.

Шаг 1: Найдем корни уравнения

Сначала мы решим уравнение x^3 + 11x^2 + 31x + 36 = 0. Для этого попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Согласно этой теореме, возможные рациональные корни могут быть делителями свободного члена (в нашем случае 36).

• Делители 36: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36

Теперь подставим эти значения в уравнение и проверим, какое из них является корнем.

Шаг 2: Проверка корней

• Подставим x = -2:

-2^3 + 11(-2)^2 + 31(-2) + 36 = -8 + 44 - 62 + 36 = 10 (не корень)

• Подставим x = -3:

-3^3 + 11(-3)^2 + 31(-3) + 36 = -27 + 99 - 93 + 36 = 15 (не корень)

• Подставим x = -4:

-4^3 + 11(-4)^2 + 31(-4) + 36 = -64 + 176 - 124 + 36 = 24 (не корень)

• Подставим x = -6:

-6^3 + 11(-6)^2 + 31(-6) + 36 = -216 + 396 - 186 + 36 = 30 (не корень)

• Подставим x = -1:

-1^3 + 11(-1)^2 + 31(-1) + 36 = -1 + 11 - 31 + 36 = 15 (не корень)

• Подставим x = -3:

-3^3 + 11(-3)^2 + 31(-3) + 36 = -27 + 99 - 93 + 36 = 15 (не корень)

• Подставим x = -4:

-4^3 + 11(-4)^2 + 31(-4) + 36 = -64 + 176 - 124 + 36 = 24 (не корень)

• Подставим x = -6:

-6^3 + 11(-6)^2 + 31(-6) + 36 = -216 + 396 - 186 + 36 = 30 (не корень)

• Подставим x = -6:

-6^3 + 11(-6)^2 + 31(-6) + 36 = -216 + 396 - 186 + 36 = 30 (не корень)

• Подставим x = -4:

-4^3 + 11(-4)^2 + 31(-4) + 36 = -64 + 176 - 124 + 36 = 24 (не корень)

• Подставим x = -3:

-3^3 + 11(-3)^2 + 31(-3) + 36 = -27 + 99 - 93 + 36 = 15 (не корень)

• Подставим x = -2:

-2^3 + 11(-2)^2 + 31(-2) + 36 = -8 + 44 - 62 + 36 = 10 (не корень)

• Подставим x = -1:

-1^3 + 11(-1)^2 + 31(-1) + 36 = -1 + 11 - 31 + 36 = 15 (не корень)

После проверки всех возможных корней, мы находим, что x = -3 является корнем. Теперь мы можем разложить многочлен на множители.

Шаг 3: Разложение на множители

Теперь, когда мы знаем, что x = -3 является корнем, мы можем использовать деление многочлена, чтобы разложить наш многочлен:

Делим x^3 + 11x^2 + 31x + 36 на (x + 3), и получаем:

Результат деления: x^2 + 8x + 12.

Теперь мы можем разложить x^2 + 8x + 12 на множители:

(x + 6)(x + 2).

Таким образом, наш многочлен можно записать в виде:

(x + 3)(x + 6)(x + 2) >= 0.

Шаг 4: Нахождение интервалов

Теперь мы можем найти корни неравенства:

• x + 3 = 0 => x = -3
• x + 6 = 0 => x = -6
• x + 2 = 0 => x = -2

Теперь у нас есть корни: x = -6, x = -3, x = -2. Мы будем проверять знаки на интервалах, которые образуются этими корнями:

• (-∞, -6)
• (-6, -3)
• (-3, -2)
• (-2, +∞)

Шаг 5: Проверка знаков

Проверим знаки многочлена на каждом из интервалов:

• Для x < -6 (например, x = -7): (−)(−)(−) = - (меньше 0)
• Для -6 < x < -3 (например, x = -5): (−)(+)(−) = + (больше 0)
• Для -3 < x < -2 (например, x = -2.5): (+)(+)(−) = - (меньше 0)
• Для x > -2 (например, x = 0): (+)(+)(+) = + (больше 0)

Теперь мы можем записать ответ:

Ответ:

Неравенство x^3 + 11x^2 + 31x + 36 >= 0 выполняется на интервалах:

x ∈ [-6, -3] ∪ [-2, +∞).