Как упростить и указать область определения для следующих выражений?

1. a) (x+4)^2 - 4(x+4) + 4 / (x^2 - 4)
2. b) (2x - 2) / (x^2 + 9x - 10)
3. c) (2x^2 + 2x - 12) / (4x^2 + 12x)

Также, как показать, что выражения (x^2 + 2x - 15) / (x - 3) и x + 5 эквивалентны? Какое условие должно выполняться для этого?

Математика 9 класс Упрощение дробно-рациональных выражений упрощение выражений область определения математика 9 класс дробные выражения эквивалентные выражения математические задачи алгебра рациональные функции решение уравнений свойства дробей Новый

Давайте разберем каждое из предложенных выражений по порядку, упростим их и определим области определения.

a) (x + 4)^2 - 4(x + 4) + 4 / (x^2 - 4)

• Сначала упростим числитель:
1. Распишем (x + 4)^2: это будет x^2 + 8x + 16.
2. Теперь у нас есть: x^2 + 8x + 16 - 4(x + 4) + 4.
3. Раскроем скобки: -4x - 16 + 4.
4. Теперь объединим все члены: x^2 + 8x - 4x + 16 - 16 + 4 = x^2 + 4x + 4.
5. Это можно записать как (x + 2)^2. Таким образом, числитель упрощается до (x + 2)^2.
• Теперь у нас выражение: (x + 2)^2 / (x^2 - 4).
• Далее упростим знаменатель: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).
• Теперь выражение выглядит так: (x + 2)^2 / ((x - 2)(x + 2)).
• Сократим (x + 2): (x + 2) / (x - 2), при условии, что x ≠ -2.

<li>Область определения: x ≠ 2, x ≠ -2.</li>

b) (2x - 2) / (x^2 + 9x - 10)

• Упростим числитель: 2(x - 1).
• Теперь у нас выражение: 2(x - 1) / (x^2 + 9x - 10).
• Упростим знаменатель: x^2 + 9x - 10 = (x + 10)(x - 1) (разложение на множители).
• Теперь выражение выглядит так: 2(x - 1) / ((x + 10)(x - 1)).
• Сократим (x - 1): 2 / (x + 10), при условии, что x ≠ 1.

<li>Область определения: x ≠ -10, x ≠ 1.</li>

c) (2x^2 + 2x - 12) / (4x^2 + 12x)

• Упростим числитель: 2(x^2 + x - 6) = 2(x + 3)(x - 2).
• Теперь у нас выражение: 2(x + 3)(x - 2) / (4x^2 + 12x).
• Упростим знаменатель: 4x^2 + 12x = 4x(x + 3).
• Теперь выражение выглядит так: 2(x + 3)(x - 2) / (4x(x + 3)).
• Сократим (x + 3): (2(x - 2)) / (4x), при условии, что x ≠ -3.
• Упрощаем: (x - 2) / (2x), при условии, что x ≠ -3.

<li>Область определения: x ≠ 0, x ≠ -3.</li>

Теперь покажем, что выражения (x^2 + 2x - 15) / (x - 3) и x + 5 эквивалентны.

• Упростим первое выражение:
1. Разложим числитель: x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3).
2. Теперь выражение выглядит так: ((x + 5)(x - 3)) / (x - 3).
3. Сократим (x - 3): x + 5, при условии, что x ≠ 3.
• Таким образом, мы видим, что (x^2 + 2x - 15) / (x - 3) = x + 5, при условии, что x ≠ 3.

Условие для эквивалентности: x не должен равняться 3, так как в этом случае выражение не определено.