Как вычислить косинус угла между диагоналями параллелограмма, который образован векторами a = 4m + 2n и b = 4m + n, при условии, что длины векторов |m| и |n| равны 1, а угол между векторами m и n составляет 60°?

Математика 9 класс Векторы и их свойства косинус угла диагонали параллелограмма векторы a и b длины векторов угол между векторами математика 9 класс Новый

Чтобы вычислить косинус угла между диагоналями параллелограмма, образованного векторами a и b, нам нужно следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Найти векторы a и b.

Векторы заданы как:

• a = 4m + 2n
• b = 4m + n

Шаг 2: Найти диагонали параллелограмма.

Диагонали параллелограмма можно найти по формуле:

• d1 = a + b
• d2 = a - b

Подставим значения:

• d1 = (4m + 2n) + (4m + n) = 8m + 3n
• d2 = (4m + 2n) - (4m + n) = 2n

Шаг 3: Вычислить длины векторов d1 и d2.

Для нахождения длины вектора мы используем формулу:

|v| = sqrt(v1^2 + v2^2 + 2*v1*v2*cos(угол)),

где v1 и v2 - длины векторов, а угол - угол между ними.

Сначала находим длину вектора d1:

|d1| = |8m + 3n| = sqrt((8^2)|m|^2 + (3^2)|n|^2 + 2*8*3*|m||n|cos(60°))

Так как |m| = |n| = 1 и cos(60°) = 0.5, подставим значения:

|d1| = sqrt(64 + 9 + 48*0.5) = sqrt(64 + 9 + 24) = sqrt(97).

Теперь находим длину вектора d2:

|d2| = |2n| = 2|n| = 2.

Шаг 4: Найти косинус угла между диагоналями.

Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (d1 * d2) / (|d1| * |d2|),

где d1 * d2 - скалярное произведение векторов.

Найдем скалярное произведение:

d1 * d2 = (8m + 3n) * (2n) = 8(m * n) + 3(2n * n).

Зная, что m и n образуют угол 60°, мы можем сказать:

• m * n = |m||n|cos(60°) = 1*1*0.5 = 0.5;
• n * n = |n|^2 = 1.

Теперь подставим в скалярное произведение:

d1 * d2 = 8*0.5 + 3*2 = 4 + 6 = 10.

Шаг 5: Подставим все в формулу косинуса.

Теперь подставим значения в формулу для косинуса:

cos(θ) = (10) / (sqrt(97) * 2).

Итак, косинус угла между диагоналями параллелограмма:

cos(θ) = 10 / (2 * sqrt(97)) = 5 / sqrt(97).

Это и есть ответ на ваш вопрос.