Как вычислить определенный интеграл от 0 до 2 функции x(8-x) по переменной x?

Математика 9 класс Определенные интегралы определенный интеграл вычисление интеграла интеграл от 0 до 2 функция x(8-x) математика 9 класс Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) = x(8 - x) на интервале от 0 до 2, следуем следующим шагам:

1. Определим функцию:

   Наша функция f(x) = x(8 - x) представляет собой квадратный трёхчлен. Мы можем упростить её:

   f(x) = 8x - x^2.

2. Найдём неопределённый интеграл:

   Теперь мы находим неопределённый интеграл от функции f(x):

   ∫(8x - x^2) dx.

   Интегрируем каждое слагаемое:

   • ∫8x dx = 4x^2,
   • ∫-x^2 dx = -1/3 x^3.

   Таким образом, неопределённый интеграл будет:

   ∫f(x) dx = 4x^2 - (1/3)x^3 + C, где C - константа интегрирования.

3. Найдём определённый интеграл от 0 до 2:

   Теперь подставим пределы интегрирования в найденный интеграл:

   ∫[0, 2] (8x - x^2) dx = [4x^2 - (1/3)x^3] от 0 до 2.

   Сначала подставим верхний предел (x = 2):

   • 4(2^2) - (1/3)(2^3) = 4(4) - (1/3)(8) = 16 - (8/3) = 16 - 2.67 = 13.33.

   Теперь подставим нижний предел (x = 0):

   • 4(0^2) - (1/3)(0^3) = 0 - 0 = 0.
4. Вычислим разность:

   Теперь вычтем значение интеграла при нижнем пределе из значения при верхнем пределе:

   13.33 - 0 = 13.33.

Ответ: Определенный интеграл от 0 до 2 функции x(8 - x) равен 13.33.