Как вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями y=x^2+1 и y=x+3?

Математика 9 класс Площадь фигуры, ограниченная графиками функций вычисление площади фигуры площадь между кривыми интегралы математика 9 класс графики функций Новый

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченную двумя кривыми: y = x^2 + 1 и y = x + 3, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти точки пересечения кривых.

   Для этого приравняем уравнения:

   x^2 + 1 = x + 3

   Переносим все в одну сторону:

   x^2 - x + 1 - 3 = 0

   x^2 - x - 2 = 0

   Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

   Подставляем значения:

   x = (1 ± √((-1)² - 4*1*(-2))) / (2*1)

   x = (1 ± √(1 + 8)) / 2

   x = (1 ± √9) / 2

   x = (1 ± 3) / 2

   Таким образом, получаем два значения:

   • x1 = (1 + 3) / 2 = 2
   • x2 = (1 - 3) / 2 = -1
2. Определить, какая кривая выше.

   Для этого подставим одно из найденных значений (например, x = 0) в уравнения:

   • y1 = 0^2 + 1 = 1
   • y2 = 0 + 3 = 3

   Таким образом, кривая y = x + 3 находится выше, чем y = x^2 + 1 в данной точке.

3. Вычислить площадь между кривыми.

   Площадь S между кривыми вычисляется по формуле:

   S = ∫(y1 - y2) dx от x1 до x2

   Где y1 - верхняя кривая, а y2 - нижняя кривая. В нашем случае:

   S = ∫(x + 3 - (x^2 + 1)) dx от -1 до 2

   Упрощаем интеграл:

   S = ∫(x + 3 - x^2 - 1) dx от -1 до 2

   S = ∫(-x^2 + x + 2) dx от -1 до 2

4. Вычислить определенный интеграл.

   Теперь найдем первообразную:

   ∫(-x^2 + x + 2) dx = -x^3/3 + x^2/2 + 2x

   Теперь подставляем пределы интегрирования от -1 до 2:

   F(2) = -2^3/3 + 2^2/2 + 2*2 = -8/3 + 2 + 4 = -8/3 + 6 = 10/3

   F(-1) = -(-1)^3/3 + (-1)^2/2 + 2*(-1) = 1/3 + 1 - 2 = 1/3 - 1 = -2/3

   Теперь находим площадь:

   S = F(2) - F(-1) = 10/3 - (-2/3) = 10/3 + 2/3 = 12/3 = 4.

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 + 1 и y = x + 3, равна 4.