Как вычислить выражение 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 99^2 - 100^2 + 101^2?

Математика 9 класс Суммы квадратов вычислить выражение математика квадрат сумма последовательность 1^2 2^2 3^2 100^2 101^2 Новый

Чтобы вычислить выражение 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 99^2 - 100^2 + 101^2, давайте сначала разберем его на части. Мы видим, что в этом выражении чередуются положительные и отрицательные квадраты чисел. Мы можем сгруппировать их для удобства.

Сначала выделим пары:

• (1^2 - 2^2)
• (3^2 - 4^2)
• (5^2 - 6^2)
• ...
• (99^2 - 100^2)

Каждая пара имеет вид:

n^2 - (n+1)^2, где n - нечетное число.

Теперь воспользуемся формулой разности квадратов:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). В нашем случае:

n^2 - (n+1)^2 = n^2 - (n^2 + 2n + 1) = -2n - 1.

Таким образом, каждая пара (n^2 - (n+1)^2) равна -2n - 1. Теперь давайте найдем сумму всех таких пар до 100:

Пары будут от 1 до 99, и n будет принимать значения 1, 3, 5, ..., 99. Это арифметическая прогрессия, где первый член равен 1, последний член равен 99, и разность равна 2.

Количество членов в этой прогрессии можно найти по формуле:

n = (последний - первый) / разность + 1 = (99 - 1) / 2 + 1 = 50.

Теперь мы можем записать сумму:

Сумма = -(2 * (1 + 3 + 5 + ... + 99) + 50).

Сумма нечетных чисел от 1 до 99 также является известной формулой:

Сумма нечетных чисел = n^2, где n - количество нечетных чисел.

В нашем случае n = 50, поэтому:

Сумма нечетных чисел = 50^2 = 2500.

Теперь подставим это в нашу сумму:

Сумма = -(2 * 2500 + 50) = -5000 - 50 = -5050.

Теперь не забываем добавить 101^2, который остался вне пар:

101^2 = 10201.

Теперь окончательно складываем:

Ответ = -5050 + 10201 = 5151.

Таким образом, значение выражения 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 99^2 - 100^2 + 101^2 равно 5151.