Какое наибольшее количество вкладчиков можно определить, если сумма всех вкладов в банке составляет 20 млн руб., а вероятность того, что случайно выбранный вклад не превысит 200 тыс. руб., равна 0,8, используя неравенство Маркова?

Математика 9 класс Неравенства для случайных величин неравенство Маркова вероятность вкладов сумма вкладов количество вкладчиков математика 9 класс Новый

Для решения задачи мы будем использовать неравенство Маркова, которое позволяет оценить количество вкладчиков, основываясь на средней величине вкладов и их вероятностном распределении.

Дано:

• Общая сумма вкладов: S = 20 млн руб. = 20 000 000 руб.
• Вероятность того, что случайный вклад не превысит 200 тыс. руб.: P(X ≤ 200 000) = 0,8.

Сначала найдем среднюю величину вклада. Обозначим количество вкладчиков как N. Тогда средний вклад будет равен:

Средний вклад = S / N = 20 000 000 / N.

Согласно неравенству Маркова, для неотрицательной случайной величины X и любого a > 0 выполняется следующее неравенство:

P(X ≥ a) ≤ E[X] / a.

В нашем случае мы можем воспользоваться следующим подходом:

1. Сначала определим, сколько вкладов превышает 200 тыс. руб.:
2. Вероятность того, что вклад меньше или равен 200 тыс. руб. составляет 0,8. Значит, вероятность того, что вклад больше 200 тыс. руб., составляет 0,2.
3. Таким образом, доля вкладчиков с вкладами больше 200 тыс. руб. равна 0,2N.

Теперь мы можем записать неравенство Маркова для вкладов, превышающих 200 тыс. руб.:

P(X > 200 000) ≤ E[X] / 200 000.

Подставим известные значения:

0,2N ≤ (20 000 000 / N) / 200 000.

Умножим обе стороны на 200 000N:

0,2N * 200 000N ≤ 20 000 000.

Упростим это уравнение:

40 000N^2 ≤ 20 000 000.

Разделим обе стороны на 40 000:

N^2 ≤ 500.

Теперь найдем максимальное значение N:

N ≤ √500.

Вычисляем квадратный корень:

√500 ≈ 22,36.

Поскольку количество вкладчиков N должно быть целым числом, максимальное количество вкладчиков будет равно 22.

Ответ: наибольшее количество вкладчиков, которое можно определить, составляет 22.