Какое наименьшее число, при делении на 14, дает остаток 8, а при делении на 26 — остаток 20?

Математика 9 класс Системы линейных congruences Наименьшее число деление на 14 остаток 8 деление на 26 остаток 20 задача по математике решение уравнений числа и остатки Новый

Для решения данной задачи мы будем использовать метод систем линейных сравнений. Нам нужно найти такое число x, которое удовлетворяет следующим условиям:

• x делится на 14 с остатком 8: x ≡ 8 (mod 14)
• x делится на 26 с остатком 20: x ≡ 20 (mod 26)

Начнем с первого условия. Мы можем записать его в виде:

x = 14k + 8, где k — это целое число.

Теперь подставим это выражение во второе условие:

14k + 8 ≡ 20 (mod 26)

Упростим это уравнение:

14k + 8 - 20 ≡ 0 (mod 26)

Это можно записать как:

14k - 12 ≡ 0 (mod 26)

Теперь добавим 12 к обеим сторонам:

14k ≡ 12 (mod 26)

Чтобы решить это уравнение, нужно найти обратное значение 14 по модулю 26. Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) 14 и 26:

• 14 = 2 * 7
• 26 = 2 * 13

Так как НОД(14, 26) = 2, мы можем упростить уравнение, разделив все на 2:

7k ≡ 6 (mod 13)

Теперь нужно найти обратное значение 7 по модулю 13. Для этого можно использовать метод проб и ошибок или расширенный алгоритм Евклида. Проверим, какие значения k удовлетворяют этому уравнению:

Мы можем перебрать значения k от 0 до 12 и найти, при каком k выполняется равенство:

• k = 0: 7 * 0 = 0 (≠ 6)
• k = 1: 7 * 1 = 7 (≠ 6)
• k = 2: 7 * 2 = 14 (≡ 1)
• k = 3: 7 * 3 = 21 (≡ 8)
• k = 4: 7 * 4 = 28 (≡ 2)
• k = 5: 7 * 5 = 35 (≡ 6)

Мы видим, что при k = 5 у нас получается 6. Теперь подставим k в уравнение:

k = 5 + 13m, где m — целое число.

Теперь вернемся к нашему первоначальному выражению для x:

x = 14(5 + 13m) + 8 = 70 + 182m.

Теперь нам нужно найти наименьшее положительное значение x. Если m = 0, то:

x = 70.

Таким образом, наименьшее число, которое при делении на 14 дает остаток 8, а при делении на 26 — остаток 20, равно:

70.