Для решения задачи о наименьшем количестве дружественных пар цветов на клетчатой доске размером 100×100, раскрашенной в k цветов, необходимо понять, как можно минимизировать количество соседей разных цветов.

Шаг 1: Определение соседей

На клетчатой доске размером 100×100 всего 10,000 клеток. Каждая клетка может иметь до 4 соседей (сверху, снизу, слева, справа), но клетки на краях и углах доски имеют меньше соседей. Чтобы минимизировать количество дружественных пар, нужно расположить цвета так, чтобы они как можно реже соседствовали.

Шаг 2: Оптимальная раскраска

• Одним из способов минимизации количества дружественных пар является использование шахматной раскраски. Например, если мы используем только 2 цвета (к = 2), то каждая клетка будет иметь 4 соседа другого цвета. В этом случае будет 50% клеток одного цвета и 50% другого.
• Однако, если мы используем больше цветов (к > 2), то можно применять более сложные схемы раскраски, чтобы еще больше уменьшить количество соседей разных цветов.

Шаг 3: Подсчет дружественных пар

При использовании k цветов, если мы раскрасим доску так, чтобы каждая клетка соседствовала с клетками только одного другого цвета, то количество дружественных пар можно оценить следующим образом:

• Каждая клетка будет иметь в среднем 4 соседа, но если мы используем k цветов, то количество уникальных пар соседей будет зависеть от того, как мы расположим цвета.
• При идеальной раскраске, где каждый цвет соседствует с минимальным количеством других цветов, можно ожидать, что количество дружественных пар будет пропорционально количеству клеток и количеству цветов.

Шаг 4: Формула для подсчета

Если мы будем считать, что каждая пара соседних клеток с различными цветами создает одну дружественную пару, то можно сказать, что минимальное количество дружественных пар будет равно:

• Количество клеток (10,000) делим на количество цветов (k).
• Умножаем на количество соседей (в среднем 4), но учитываем, что не все соседи будут разного цвета.

Таким образом, при оптимальной раскраске можно прийти к выводу, что минимальное количество дружественных пар цветов будет зависеть от конкретного распределения цветов, но можно ожидать, что оно будет существенно меньше, чем в случае случайной раскраски.

Вывод: Наименьшее количество дружественных пар цветов на клетчатой доске 100×100, раскрашенной в k цветов, можно оценить как O(10,000/k), но точное значение зависит от конкретной раскраски.