Какое наименьшее натуральное число при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 дает остаток 2,..., а при делении на 10 дает остаток 9?

Математика 9 класс Системы линейных уравнений в целых числах Наименьшее натуральное число деление на 2 остаток 1 деление на 3 остаток 2 деление на 10 остаток 9 задача по математике 9 класс Новый

Чтобы найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 дает остаток 2 и так далее, мы можем записать условия задачи в виде системы сравнений:

• x ≡ 1 (mod 2)
• x ≡ 2 (mod 3)
• x ≡ 3 (mod 4)
• x ≡ 4 (mod 5)
• x ≡ 5 (mod 6)
• x ≡ 6 (mod 7)
• x ≡ 7 (mod 8)
• x ≡ 8 (mod 9)
• x ≡ 9 (mod 10)

Обратите внимание, что все условия имеют вид:

• x ≡ -1 (mod n), где n - делитель (от 2 до 10).

Это означает, что x должно быть на 1 меньше кратного каждого из делителей от 2 до 10. Таким образом, мы можем записать:

• x + 1 должно быть кратно 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10.

Теперь найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел от 2 до 10. Мы можем разложить эти числа на простые множители:

• 2 = 2
• 3 = 3
• 4 = 2^2
• 5 = 5
• 6 = 2 * 3
• 7 = 7
• 8 = 2^3
• 9 = 3^2
• 10 = 2 * 5

Теперь найдем НОК, выбирая максимальную степень каждого простого множителя:

• 2^3 (из 8)
• 3^2 (из 9)
• 5^1 (из 5)
• 7^1 (из 7)

Теперь вычислим НОК:

• НОК = 2^3 * 3^2 * 5^1 * 7^1 = 8 * 9 * 5 * 7.

Теперь произведем вычисления:

1. 8 * 9 = 72
2. 72 * 5 = 360
3. 360 * 7 = 2520

Таким образом, НОК(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = 2520.

Теперь, чтобы найти наименьшее натуральное число x, которое удовлетворяет всем условиям, нужно вычесть 1:

x = 2520 - 1 = 2519.

Итак, наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 дает остаток 2 и так далее, до деления на 10, дает остаток 9, равно 2519.