Чтобы найти частную производную dz/dx для функции z = 2^(x^2 + y^3),нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Частная производная функции z по переменной x обозначается как dz/dx. Мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции. Функция z является показательной, и ее производная имеет следующий вид:

• Если z = a^(u),то dz/du = a^(u) * ln(a).
• В нашем случае a = 2, а u = x^2 + y^3.

Теперь найдем производную u по x:

• u = x^2 + y^3, тогда du/dx = 2x.

Теперь применим правило цепочки:

• dz/dx = dz/du * du/dx = 2^(x^2 + y^3) * ln(2) * 2x.

Теперь нам нужно подставить значения x = 2 и y = -1 в нашу производную:

• Сначала найдем значение u в точке M: u = 2^2 + (-1)^3 = 4 - 1 = 3.
• Теперь подставим x = 2 в выражение для dz/dx:

dz/dx = 2^(3) * ln(2) * 2(2) = 8 * ln(2) * 4 = 32 * ln(2).

Таким образом, значение частной производной dz/dx в точке M(2; -1) равно 32 * ln(2).