Какое значение имеет выражение Tg^2x*cos^2x - 1/3sin^2x, если известно, что cosx = 1/2?

Математика 9 класс Тригонометрические уравнения и тождества выражение математики tg^2x cos^2x sin^2x cosx = 1/2 9 класс решение задачи Тригонометрия Новый

Чтобы найти значение выражения Tg^2x * cos^2x - 1/3 * sin^2x при условии, что cosx = 1/2, начнем с нахождения необходимых тригонометрических функций.

1. Найдем значение sinx:

• Мы знаем, что cosx = 1/2. Это значение соответствует углам 60° и 300° (или π/3 и 5π/3 радиан).
• Для угла 60°: sin(60°) = √(1 - cos^2(60°)) = √(1 - (1/2)^2) = √(1 - 1/4) = √(3/4) = √3/2.
• Для угла 300°: sin(300°) = -√3/2.

Таким образом, sinx может быть равен √3/2 или -√3/2. Мы рассмотрим оба случая.

2. Найдем значение Tg^2x:

• Тангенс определяется как Tg x = sin x / cos x.
• Следовательно, Tg(60°) = (√3/2) / (1/2) = √3 и Tg(300°) = (-√3/2) / (1/2) = -√3.
• Теперь найдем Tg^2x: Tg^2(60°) = (√3)^2 = 3 и Tg^2(300°) = (-√3)^2 = 3.

3. Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

• cos^2x = (1/2)^2 = 1/4.
• sin^2x = (√3/2)^2 = 3/4 (для 60°) и (-√3/2)^2 = 3/4 (для 300°).
• Таким образом, cos^2x = 1/4 и sin^2x = 3/4.

4. Теперь подставим значения в выражение:

• Для 60°: Tg^2x * cos^2x - 1/3 * sin^2x = 3 * (1/4) - 1/3 * (3/4).
• Это равно (3/4) - (1/4) = (3/4) - (1/4) = 2/4 = 1/2.

Таким образом, для угла 60° значение выражения равно 1/2.

5. Теперь сделаем то же самое для угла 300°:

• Для 300°: Tg^2x * cos^2x - 1/3 * sin^2x = 3 * (1/4) - 1/3 * (3/4).
• Это будет также равно (3/4) - (1/4) = (3/4) - (1/4) = 2/4 = 1/2.

Таким образом, значение выражения Tg^2x * cos^2x - 1/3 * sin^2x равно 1/2 как для угла 60°, так и для угла 300°.

Ответ: 1/2.