Какое значение x решает уравнение (√(3-2√2))^x + (√(3+2√2))^x = 6?

Математика 9 класс Уравнения с корнями и показательные уравнения уравнение значение x решение уравнения математика 9 класс корень квадратный корень алгебра экспоненциальное уравнение Новый

Для решения уравнения (√(3-2√2))^x + (√(3+2√2))^x = 6, начнем с упрощения выражений под корнями.

Обратим внимание на выражения √(3-2√2) и √(3+2√2). Эти выражения можно упростить:

• √(3-2√2) = √((√2 - 1)²) = √2 - 1,
• √(3+2√2) = √((√2 + 1)²) = √2 + 1.

Теперь подставим эти упрощенные выражения в уравнение:

(√2 - 1)^x + (√2 + 1)^x = 6.

Теперь обозначим a = √2 - 1 и b = √2 + 1. Обратите внимание, что b = a + 2. Таким образом, уравнение можно записать как:

a^x + b^x = 6.

Теперь попробуем найти значение x, подставив разные целые значения:

1. Для x = 2:
• a^2 = (√2 - 1)^2 = 2 - 2√2 + 1 = 3 - 2√2,
• b^2 = (√2 + 1)^2 = 2 + 2√2 + 1 = 3 + 2√2.

Теперь сложим эти значения:

(3 - 2√2) + (3 + 2√2) = 6.

Итак, при x = 2 уравнение выполняется.

Таким образом, значение x, которое решает уравнение (√(3-2√2))^x + (√(3+2√2))^x = 6, равно:

x = 2.