Чтобы найти площадь боковой поверхности прямой призмы, нам нужно сначала определить размеры основания призмы и высоту. В данном случае основание представляет собой прямоугольный треугольник с гипотенузой 15 см и одним катетом 9 см.

1. Найдем второй катет прямоугольного треугольника.

• Используем теорему Пифагора: a^2 + b^2 = c^2, где c - гипотенуза, a и b - катеты.
• В нашем случае: 9^2 + b^2 = 15^2.
• Сначала найдем 9^2: 81.
• Теперь найдем 15^2: 225.
• Подставим в уравнение: 81 + b^2 = 225.
• Решим уравнение: b^2 = 225 - 81 = 144.
• Теперь найдем b: b = √144 = 12 см.

Таким образом, у нас есть катеты 9 см и 12 см.

2. Теперь найдем площадь основания (прямоугольного треугольника).

• Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле: S = (1/2) * a * b, где a и b - катеты.
• Подставляем значения: S = (1/2) * 9 * 12 = 54 см².

3. Теперь найдем высоту призмы.

• Наименьшая боковая грань является квадратом. Поскольку одна из граней является квадратом, ее сторона равна длине меньшего катета, т.е. 9 см.
• Таким образом, высота призмы h = 9 см.

4. Теперь можем найти площадь боковой поверхности призмы.

• Площадь боковой поверхности прямой призмы рассчитывается по формуле: P = периметр основания * высота.
• Периметр основания (прямоугольного треугольника) рассчитывается как сумма всех его сторон: P = a + b + c, где c - гипотенуза.
• Периметр: P = 9 + 12 + 15 = 36 см.
• Теперь подставим в формулу для площади боковой поверхности: P = 36 * 9 = 324 см².

Итак, площадь боковой поверхности прямой призмы составляет 324 см².