Какова площадь трапеции, ограниченной следующими линиями: y=x^2, y=0, x=-3, а также y=x^2-3x+2 и y=x-1?

Математика 9 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь трапеции математика 9 класс задачи на площадь функции и графики математический анализ Новый

Чтобы найти площадь трапеции, ограниченной заданными линиями, необходимо сначала определить точки пересечения этих линий. Давайте разберем каждую из них и найдем их пересечения.

Шаг 1: Найдем точки пересечения линий.

1. Первая линия: y = x^2 (парабола).

2. Вторая линия: y = 0 (ось абсцисс).

3. Третья линия: y = x^2 - 3x + 2 (еще одна парабола).

4. Четвертая линия: y = x - 1 (прямая).

Пересечение y = x^2 и y = 0:

Чтобы найти пересечения, приравняем:

• x^2 = 0

Решение: x = 0.

Пересечение y = x^2 - 3x + 2 и y = 0:

Приравниваем:

• x^2 - 3x + 2 = 0

Решаем квадратное уравнение:

• (x - 1)(x - 2) = 0

Решения: x = 1 и x = 2.

Пересечение y = x^2 и y = x - 1:

Приравниваем:

• x^2 = x - 1

Переносим все в одну сторону:

• x^2 - x + 1 = 0

Дискриминант D = (-1)^2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 (нет действительных корней).

Пересечение y = x^2 - 3x + 2 и y = x - 1:

Приравниваем:

• x^2 - 3x + 2 = x - 1

Переносим все в одну сторону:

• x^2 - 4x + 3 = 0

Решаем:

• (x - 1)(x - 3) = 0

Решения: x = 1 и x = 3.

Шаг 2: Определим границы интегрирования.

Теперь у нас есть важные точки:

• Точка A (x = -3, y = 0)
• Точка B (x = 1, y = 0)
• Точка C (x = 2, y = 0)
• Точка D (x = 3, y = 0)

Шаг 3: Найдем площадь трапеции.

Площадь трапеции можно найти, используя интеграл. Мы будем интегрировать разность верхней и нижней функции на отрезке от -3 до 3.

Для x от -3 до 1:

• Верхняя функция: y = x^2
• Нижняя функция: y = 0

Для x от 1 до 2:

• Верхняя функция: y = x - 1
• Нижняя функция: y = x^2 - 3x + 2

Теперь мы можем записать интегралы:

Площадь S = интеграл от -3 до 1 (x^2 - 0) dx + интеграл от 1 до 2 ((x - 1) - (x^2 - 3x + 2)) dx.

Шаг 4: Вычислим интегралы.

1. Интеграл от -3 до 1:

• Интеграл (x^2) dx = (1/3)x^3 от -3 до 1 = (1/3)(1^3) - (1/3)(-3^3) = (1/3)(1) + (1/3)(27) = (1/3)(28) = 28/3.

2. Интеграл от 1 до 2:

• Упростим: (x - 1) - (x^2 - 3x + 2) = -x^2 + 4x - 3.
• Интеграл (-x^2 + 4x - 3) dx = (-1/3)x^3 + 2x^2 - 3x от 1 до 2.

Вычисляем: = [(-1/3)(2^3) + 2(2^2) - 3(2)] - [(-1/3)(1^3) + 2(1^2) - 3(1)] = [-8/3 + 8 - 6] - [-1/3 + 2 - 3].

Упрощаем: = [-8/3 + 2/3] - [-1/3] = -6/3 + 1/3 = -5/3.

Суммируем: Площадь = 28/3 + 5/3 = 33/3 = 11.

Ответ: Площадь трапеции, ограниченной заданными линиями, равна 11.