Для решения неравенства (1 + x² - 2x)/(2x² + 20x + 50) + (9 + x² + 6x)/(2x² - 4x + 2) ≥ (x + 3)/(x + 5) нам нужно сначала упростить его и найти целые решения в пределах отрезка [-10; 10].

Шаг 1: Упрощение левой части неравенства.

• Перепишем левую часть: (1 + x² - 2x)/(2x² + 20x + 50) + (9 + x² + 6x)/(2x² - 4x + 2).
• Обозначим первую дробь как A и вторую как B.
• Теперь найдем общий знаменатель для A и B.

Шаг 2: Найдем общий знаменатель.

• Знаменатель A: 2x² + 20x + 50 = 2(x² + 10x + 25) = 2(x + 5)².
• Знаменатель B: 2x² - 4x + 2 = 2(x² - 2x + 1) = 2(x - 1)².

Шаг 3: Объединяем дроби.

• Общий знаменатель будет 2(x + 5)²(x - 1)².
• Теперь приводим дроби к общему знаменателю и складываем их.

Шаг 4: Переписываем неравенство.

• Левая часть теперь будет (A*общий_знаменатель + B*общий_знаменатель) / общий_знаменатель.
• Правая часть остается (x + 3)/(x + 5).

Шаг 5: Упрощаем правую часть.

• Умножаем обе стороны на (x + 5), чтобы избавиться от дроби, но помним, что это может изменить знак неравенства, если x + 5 < 0.

Шаг 6: Решаем полученное неравенство.

• Решаем неравенство, получая выражение с x.
• Находим критические точки, где дробь равна нулю или неопределенна.

Шаг 7: Находим целые решения в пределах отрезка [-10; 10].

• Проверяем каждое целое значение от -10 до 10, подставляя его в неравенство.

Шаг 8: Суммируем найденные целые решения.

• Собираем все целые решения и находим их сумму.

В результате, после всех этих шагов, вы сможете найти целые решения неравенства и их сумму. Для конкретного значения суммы вам нужно будет провести вычисления, подставляя каждое значение x в неравенство и проверяя, выполняется ли оно.