Какова сумма наибольшего и наименьшего значений функции y=4x² + 1/x на отрезке [1/4; 1]?

Математика 9 класс Исследование функций и их экстремумы сумма наибольшего значения сумма наименьшего значения функция y=4x² + 1/x отрезок [1/4; 1] математические функции экстремумы функции анализ функции методы нахождения экстремумов Новый

Чтобы найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции y = 4x² + 1/x на отрезке [1/4; 1], нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. Это поможет нам определить критические точки, где функция может принимать экстремальные значения.

Находим производную функции:

y' = d(4x²)/dx + d(1/x)/dx = 8x - 1/x².

1. Приравнять производную к нулю. Это позволит нам найти критические точки:

8x - 1/x² = 0.

Умножим уравнение на x² (при условии, что x не равен 0):

8x³ - 1 = 0.

8x³ = 1.

x³ = 1/8.

x = (1/8)^(1/3) = 1/2.

1. Проверить, попадает ли критическая точка в заданный отрезок [1/4; 1].

Критическая точка x = 1/2 находится на отрезке [1/4; 1]. Теперь нам нужно найти значения функции в трех точках: в концах отрезка и в критической точке.

1. Вычислить значение функции в концах отрезка:
• y(1/4) = 4*(1/4)² + 1/(1/4) = 4*(1/16) + 4 = 1/4 + 4 = 17/4 = 4.25.
• y(1) = 4*(1)² + 1/(1) = 4*1 + 1 = 4 + 1 = 5.

1. Вычислить значение функции в критической точке:
• y(1/2) = 4*(1/2)² + 1/(1/2) = 4*(1/4) + 2 = 1 + 2 = 3.

Теперь у нас есть три значения:

• y(1/4) = 4.25
• y(1/2) = 3
• y(1) = 5

Наибольшее значение функции на отрезке [1/4; 1] равно 5 (в точке x = 1), а наименьшее значение равно 3 (в точке x = 1/2).

1. Найти сумму наибольшего и наименьшего значений:

Сумма = 5 + 3 = 8.

Ответ: Сумма наибольшего и наименьшего значений функции y = 4x² + 1/x на отрезке [1/4; 1] равна 8.