Каково основание равнобедренного треугольника с периметром 10 см, чтобы объем конуса, полученного при вращении этого треугольника вокруг высоты, опущенной на основание, был максимальным?

Математика 9 класс Оптимизация объемов фигур вращения основание равнобедренного треугольника периметр 10 см объем конуса максимальный объём высота треугольника Новый

Для решения этой задачи начнем с определения необходимых параметров равнобедренного треугольника и формулы для объема конуса.

Обозначим основание равнобедренного треугольника как b, а боковые стороны как a. Периметр треугольника равен 10 см, поэтому мы можем записать уравнение:

• b + 2a = 10

Теперь выразим a через b:

• a = (10 - b) / 2

Теперь найдем высоту h равнобедренного треугольника, опущенную на основание b. Высота в равнобедренном треугольнике может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:

Разделим основание на две равные части, тогда каждая из них будет равна b/2. Высота h и половина основания b/2 образуют прямоугольный треугольник с боковой стороной a.

• h = sqrt(a^2 - (b/2)^2)

Теперь подставим значение a:

• h = sqrt(((10 - b) / 2)^2 - (b/2)^2)

Теперь найдем объем конуса, который образуется при вращении треугольника вокруг высоты h. Формула объема конуса:

• V = (1/3) * π * r^2 * h

Где r - радиус основания конуса, который равен b/2. Подставим это значение в формулу объема:

• V = (1/3) * π * (b/2)^2 * h

Теперь подставим выражение для h:

• V = (1/3) * π * (b/2)^2 * sqrt(((10 - b) / 2)^2 - (b/2)^2)

Теперь нам нужно максимизировать объем V. Для этого можно использовать производную. Однако, для упрощения, мы можем использовать численный метод или графический анализ, чтобы найти значение b, при котором объем максимален.

В результате, после анализа, можно обнаружить, что максимальный объем конуса достигается при значении b около 4 см. Это значение можно подтвердить, подставив его обратно в формулы и проверив объем.

Таким образом, основание равнобедренного треугольника для максимального объема конуса составляет 4 см.