Каково значение выражения (1² + 1•2 + 2²) + (2² + 2•3 + 3²) + (3² + 3•4 + 4²) + ..... + (98² + 98•99 + 99²) + (99² + 99•100 + 100²)?

Математика 9 класс Суммы квадратов и произведений математика 9 класс значение выражения сумма последовательности квадрат числа математические выражения арифметическая прогрессия задачи по математике Новый

Чтобы найти значение выражения (1² + 1•2 + 2²) + (2² + 2•3 + 3²) + (3² + 3•4 + 4²) + ... + (99² + 99•100 + 100²), давайте сначала разберемся, что представляет собой каждое из слагаемых.

Рассмотрим общее слагаемое в выражении:

n² + n(n + 1) + (n + 1)²

Где n - это текущее число, начиная с 1 и заканчивая 99. Теперь упростим это выражение:

1. n² + n(n + 1) + (n + 1)² = n² + n² + n + n² + 2n + 1
2. Соберем похожие слагаемые: 3n² + 3n + 1

Таким образом, каждое слагаемое можно записать как:

3n² + 3n + 1

Теперь нам нужно просуммировать это выражение для n от 1 до 99:

Сумма выражения выглядит так:

Сумма = ∑ (3n² + 3n + 1) от n=1 до 99

Это можно разбить на три отдельных суммы:

Сумма = 3 * ∑ n² + 3 * ∑ n + ∑ 1

Теперь найдем каждую из этих сумм:

• Сумма n² от 1 до N: ∑ n² = N(N + 1)(2N + 1)/6. Для N = 99:
  ∑ n² = 99 * 100 * 199 / 6 = 328350.
• Сумма n от 1 до N: ∑ n = N(N + 1)/2. Для N = 99:
  ∑ n = 99 * 100 / 2 = 4950.
• Сумма 1 от 1 до N: ∑ 1 = N. Для N = 99:
  ∑ 1 = 99.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

Сумма = 3 * 328350 + 3 * 4950 + 99

Вычислим каждую часть:

• 3 * 328350 = 985050
• 3 * 4950 = 14850
• 99 = 99

Теперь сложим все части:

Сумма = 985050 + 14850 + 99 = 1000000.

Таким образом, значение всего выражения равно 1000000.