Каковы все значения a, при которых уравнение имеет ровно два решения:

(log7(2x+2a)-log7(2x+2a))^2-8a(log7(2x+2a)-log7(2x-2a)+12a^2+8a-4=0

Математика 9 класс Уравнения с логарифмами уравнение с двумя решениями значения a Логарифмическое уравнение математика 9 класс решение уравнения анализ решений условия для a Новый

Для того чтобы решить данное уравнение и найти значения a, при которых оно имеет ровно два решения, давайте начнем с упрощения уравнения.

У нас есть следующее уравнение:

(log7(2x+2a) - log7(2x-2a))^2 - 8a(log7(2x+2a) - log7(2x-2a) + 12a^2 + 8a - 4) = 0

Обозначим:

y = log7(2x + 2a) - log7(2x - 2a)

Теперь уравнение можно переписать в виде:

y^2 - 8a(y + 12a^2 + 8a - 4) = 0

Это квадратное уравнение относительно y. Для того чтобы оно имело два решения, необходимо, чтобы дискриминант этого уравнения был положительным. Дискриминант D квадратного уравнения ax^2 + bx + c равен:

D = b^2 - 4ac

В нашем случае:

• a = 1
• b = -8a
• c = -8a(12a^2 + 8a - 4)

Теперь найдем дискриминант:

D = (-8a)^2 - 4 * 1 * (-8a(12a^2 + 8a - 4))

D = 64a^2 + 32a(12a^2 + 8a - 4)

Упростим выражение для D:

D = 64a^2 + 32a(12a^2) + 32a(8a) - 32a(4)

D = 64a^2 + 384a^3 + 256a^2 - 128a

D = 384a^3 + 320a^2 - 128a

Теперь для того чтобы уравнение имело ровно два решения, необходимо, чтобы D > 0.

Решим неравенство:

384a^3 + 320a^2 - 128a > 0

Для этого можно вынести общий множитель:

64a(6a^2 + 5a - 2) > 0

Теперь необходимо решить неравенство 6a^2 + 5a - 2 > 0. Для этого найдем корни квадратного уравнения 6a^2 + 5a - 2 = 0 с помощью дискриминанта:

D = 5^2 - 4 * 6 * (-2) = 25 + 48 = 73

Корни уравнения:

a1 = (-5 + sqrt(73)) / (2 * 6)

a2 = (-5 - sqrt(73)) / (2 * 6)

Теперь определим интервалы, где функция 6a^2 + 5a - 2 > 0:

• Интервал 1: a < a2
• Интервал 2: a1 < a

Таким образом, у нас есть два интервала, в которых уравнение имеет ровно два решения:

1. a < a2

2. a > a1

Итак, значения a, при которых уравнение имеет ровно два решения, находятся в указанных интервалах.