Каковы значения параметра a, при которых минимальное значение функции f(x) = -x^2 + 2x + a^2 на отрезке [-1; 0] не превышает единицу? Пожалуйста, приведите полное решение.

Математика 9 класс Оптимизация функции значения параметра a минимальное значение функции f(x) = -x^2 + 2x + a^2 отрезок [-1; 0] решение задачи по математике Новый

Для решения задачи нам нужно найти минимальное значение функции f(x) = -x^2 + 2x + a^2 на отрезке [-1; 0] и определить, при каких значениях параметра a это минимальное значение не превышает единицы.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x).

f'(x) = -2x + 2.

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.

-2x + 2 = 0

2x = 2

x = 1.

Однако, критическая точка x = 1 не принадлежит отрезку [-1; 0], поэтому мы будем оценивать значения функции на краевых точках отрезка.

Шаг 3: Вычислим значение функции в краевых точках:

• f(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + a^2 = -1 - 2 + a^2 = a^2 - 3.
• f(0) = -(0)^2 + 2(0) + a^2 = a^2.

Шаг 4: Теперь мы сравним полученные значения f(-1) и f(0):

Минимальное значение на отрезке [-1; 0] будет равно:

• min(f(-1), f(0)) = min(a^2 - 3, a^2).

Шаг 5: Теперь найдем условие, при котором это минимальное значение не превышает единицу:

min(a^2 - 3, a^2) ≤ 1.

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: a^2 - 3 ≤ 1.
2. Случай 2: a^2 ≤ 1.

Шаг 6: Решим первый случай:

a^2 - 3 ≤ 1

a^2 ≤ 4

Таким образом, -2 ≤ a ≤ 2.

Шаг 7: Решим второй случай:

a^2 ≤ 1

Таким образом, -1 ≤ a ≤ 1.

Шаг 8: Теперь нам нужно найти пересечение этих двух условий:

Первое условие: -2 ≤ a ≤ 2

Второе условие: -1 ≤ a ≤ 1

Пересечение этих промежутков: -1 ≤ a ≤ 1.

Таким образом, значения параметра a, при которых минимальное значение функции f(x) на отрезке [-1; 0] не превышает единицы, находятся в интервале:

-1 ≤ a ≤ 1.